Calcule as derivadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=x^3-1x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = x^3 - 1x^2 + 1 . Isso está na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente usando a Regra do Quociente. Vamos precisar entender como derivar uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, u(x)v(x) , a derivada dessa função é dada por:
(uv)' = u'v - uv'v^2
Então, para aplicar essa regra na nossa função f(x) = x^3 - 1x^2 + 1 , precisamos identificar u(x) e v(x) , e depois encontrar suas derivadas u'(x) e v'(x) .

Passo 3

Vamos identificar as funções u e v :
  • u(x) = x^3 - 1
  • v(x) = x^2 + 1
Agora, vamos derivar cada uma delas.

Passo 4

Vamos calcular u'(x) :
A derivada de x^3 em relação a x é 3x^2 , e a derivada de uma constante como -1 é 0. Então,
u'(x) = 3x^2

Passo 5

Agora, vamos calcular v'(x) :
A derivada de x^2 é 2x , e a derivada de 1 é 0. Assim,
v'(x) = 2x

Passo 6

Agora que temos u'(x) e v'(x) , podemos aplicar a Regra do Quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2 = (3x^2)(x^2 + 1) - (x^3 - 1)(2x)(x^2 + 1)^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandir os termos:
  • 3x^2(x^2 + 1) = 3x^4 + 3x^2
  • (x^3 - 1)(2x) = 2x^4 - 2x
Agora, substituindo de volta no numerador:
3x^4 + 3x^2 - (2x^4 - 2x) = 3x^4 + 3x^2 - 2x^4 + 2x = (3x^4 - 2x^4) + 3x^2 + 2x = x^4 + 3x^2 + 2x

Passo 8

Então, a derivada fica:
f'(x) = x^4 + 3x^2 + 2x(x^2 + 1)^2

Resposta

A derivada da função é
f'(x) = x^4 + 3x^2 + 2x(x^2 + 1)^2

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