Considere a função f: R R definida por f(x)=arctg x+xx^2+1. Prove que f é invertível e calcule (f^-1)^prime(f(0)).

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)=arctgx+xx^2+1
e pede para mostrar que f é invertível e calcular (f^-1)'(f(0)).
Para resolver isso vamos usar dois fatos:
– Se f'(x)>0 em todo R, então f é estritamente crescente e, portanto, injetora (logo invertível sobre sua imagem).
– Se f é invertível e diferenciável em x=a com f'(a)neq0, então a inversa f^-1 é diferenciável em y=f(a) e
(f^-1)'(f(a))=1f'(a)

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Primeiro
ddxl(arctgxr)=11+x^2, ddxl(xx^2+1r) =(x^2+1)-xcdot2x(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2
Somando,
f'(x) =11+x^2+1-x^2(x^2+1)^2 =(1+x^2)+(1-x^2)(x^2+1)^2 =2(x^2+1)^2

Passo 3

Como
f'(x)=2(x^2+1)^2>0 forall xinR,
segue que f é estritamente crescente e, portanto, invertível sobre sua imagem.
Além disso, por ser diferenciável com f'(x)neq0, a inversa satisfaz
(f^-1)'(f(a))=1f'(a)

Passo 4

Temos
f(0)=arctg0+00^2+1=0, f'(0)=2(0^2+1)^2=2
Aplicando a fórmula da derivada da inversa em a=0,
(f^-1)'(f(0))=(f^-1)'(0)=1f'(0)=12

Resposta

(f^-1)'(f(0))=12

Exercícios relacionados