Considere a função
definida por
. Prove que
é invertível e calcule
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
é invertível e calcular
.
Para resolver isso vamos usar dois fatos:
– Se em todo
, então
é estritamente crescente e, portanto, injetora (logo invertível sobre sua imagem).
– Se é invertível e diferenciável em
com
, então a inversa
é diferenciável em
e
Para resolver isso vamos usar dois fatos:
– Se
– Se
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Primeiro
Somando,
Passo 3
Como
segue que
é estritamente crescente e, portanto, invertível sobre sua imagem.
Além disso, por ser diferenciável com , a inversa satisfaz
Além disso, por ser diferenciável com
Passo 4
Temos
Aplicando a fórmula da derivada da inversa em
,