Calcule as derivadas abaixo:
f: R R, dada por
f(x):=c x^2+2 x se x<0 -x^2-2 x, se x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas de uma função que muda de regra dependendo do valor de x . A matéria que estamos lidando é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação em cada parte da função e verificar o comportamento no ponto onde a função muda de regra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que foi dada:
f(x) = x^2 + 2x & se x < 0 - x^2 - 2x & se x >= 0
Ela está dividida em duas partes:
  • Para x < 0 , a função é x^2 + 2x .
  • Para x >= 0 , a função é -x^2 - 2x .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada parte separadamente. Lembrando que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a x .
Primeiro, para x < 0 :
f(x) = x^2 + 2x
A derivada de x^2 é 2x e a derivada de 2x é 2 . Então, a derivada dessa parte é:
f'(x) = 2x + 2 para x < 0

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte, onde x >= 0 :
f(x) = -x^2 - 2x
Aqui, a derivada de -x^2 é -2x e a derivada de -2x é -2 . Assim, a derivada dessa parte é:
f'(x) = -2x - 2 para x >= 0

Passo 5

Até aqui, temos a derivada para cada parte da função. Mas precisamos verificar o que acontece no ponto onde a função muda de regra, que é em x = 0 . Para a derivada existir nesse ponto, os limites das derivadas das duas partes devem ser iguais.
Vamos calcular o limite da derivada quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x to 0^- ):
limx to 0^- f'(x) = limx to 0^- (2x + 2) = 2
Agora, o limite quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+ ):
limx to 0^+ f'(x) = limx to 0^+ (-2x - 2) = -2
Como os limites não são iguais ( 2 neq -2 ), a derivada não existe em x = 0 .

Resposta

A derivada de [f(x)) é dada por:
Além disso, .

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