Determine uma equação da reta tangente à curva^sec sec ^2(x+y)+cos ^2(x+y)=32 no ponto (pi4, 0).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
sec^2l(x+yr)+cos^2l(x+yr)=tfrac32
e pede a reta tangente no ponto l(x0,y0r)=l(tfracpi4,0r).
O que vamos usar: derivação implícita para encontrar y'=dydx e, em seguida, a fórmula da reta tangente
y - y0 = y'l(x - x0r)

Passo 2

Aplicamos derivada em ambos os lados de
sec^2(u)+cos^2(u)=tfrac32,
onde u=x+y. Pela regra da cadeia:
ddxl[sec^2(u)r] =2,sec^2(u),tan(u),dudx =2,sec^2(x+y),tan(x+y),(1+y'),
ddxl[cos^2(u)r] =2,cos(u),l(-sin(u)r),dudx =-2,sin(x+y),cos(x+y),(1+y')
Somando e igualando a zero:
2,(1+y')l[sec^2(x+y),tan(x+y)-sin(x+y),cos(x+y)r]=0

Passo 3

No ponto l(tfracpi4,0r) temos u=x+y=tfracpi4. Calculamos o colchete:
sec^2l(tfracpi4r),tanl(tfracpi4r) =2cdot1=2, sinl(tfracpi4r)cosl(tfracpi4r)=tfrac12,
logo o colchete vale 2- tfrac12=tfrac32neq0. Assim a única solução é
1+y'=0 Rightarrow y'=-1

Passo 4

Com a inclinação m=y'=-1 no ponto l(tfracpi4,0r), a reta tangente é
y-0 = -1l(x-tfracpi4r) Longrightarrow y=-x+tfracpi4

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy=-x+pi4

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