Calcule as derivadas abaixo:
, dada por
, onde ln é a inversa de exp, cuja derivada é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! O exercício pede para calcular a derivada da função
no domínio
. A gente vai precisar entender um pouco sobre derivadas e funções inversas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
. Sabemos que a função logaritmo natural,
, é a inversa da função exponencial,
.
Passo 3
Como
é a função inversa de
, a gente pode usar uma propriedade importante das derivadas de funções inversas. A regra é a seguinte:
Isso significa que a derivada da função inversa
é igual a
dividida pela derivada da função original
avaliada em
.
Passo 4
Vamos aplicar essa regra à nossa função. Aqui,
, então sua derivada é
. A função inversa de
é
.
Aplicando a regra:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão. Sabemos que
porque são funções inversas. Então:
Resposta
A derivada de
é: