Calcule as derivadas abaixo:
f:(0,+infty) R, dada por f(x)=ln (x), onde ln é a inversa de exp, cuja derivada é exp ^prime=exp.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! O exercício pede para calcular a derivada da função f(x) = ln(x) no domínio (0, +infty) . A gente vai precisar entender um pouco sobre derivadas e funções inversas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar: f(x) = ln(x) . Sabemos que a função logaritmo natural, ln(x) , é a inversa da função exponencial, exp(x) .

Passo 3

Como ln(x) é a função inversa de exp(x) , a gente pode usar uma propriedade importante das derivadas de funções inversas. A regra é a seguinte:
(f^-1)'(x) = 1f'(f^-1(x))
Isso significa que a derivada da função inversa f^-1(x) é igual a 1 dividida pela derivada da função original f avaliada em f^-1(x) .

Passo 4

Vamos aplicar essa regra à nossa função. Aqui, f(x) = exp(x) , então sua derivada é f'(x) = exp(x) . A função inversa de f é f^-1(x) = ln(x) .
Aplicando a regra:
(ln(x))' = 1exp(ln(x))

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão. Sabemos que exp(ln(x)) = x porque são funções inversas. Então:
(ln(x))' = 1x

Resposta

A derivada de f(x) = ln(x) é:
f'(x) = 1x

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