Calcule as derivadas abaixo:
f: R backslash-1,1 R dada por f(x)=x^3+1x^2-1

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a derivada da função f(x) = x^3 + 1x^2 - 1 . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente de derivadas de funções racionais. Pra resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é usada quando a função é uma divisão de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se temos uma função f(x) = u(x)v(x) , então a derivada f'(x) é dada por:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
No nosso caso, u(x) = x^3 + 1 e v(x) = x^2 - 1 .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de u(x) e v(x) .
Primeiro, a derivada de u(x) = x^3 + 1 :
u'(x) = 3x^2 + 0 = 3x^2
Depois, a derivada de v(x) = x^2 - 1 :
v'(x) = 2x - 0 = 2x

Passo 4

Com essas derivadas, vamos aplicar a Regra do Quociente:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 = 3x^2 cdot (x^2 - 1) - (x^3 + 1) cdot 2x(x^2 - 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandir 3x^2 cdot (x^2 - 1) :
3x^2 cdot x^2 = 3x^4 3x^2 cdot (-1) = -3x^2 Rightarrow 3x^4 - 3x^2
Depois, expandir (x^3 + 1) cdot 2x :
x^3 cdot 2x = 2x^4 1 cdot 2x = 2x Rightarrow 2x^4 + 2x
Então, juntando tudo no numerador:
3x^4 - 3x^2 - 2x^4 - 2x = (3x^4 - 2x^4) + (-3x^2) + (-2x) = x^4 - 3x^2 - 2x

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
f'(x) = x^4 - 3x^2 - 2x(x^2 - 1)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = x^4 - 3x^2 - 2x(x^2 - 1)^2

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