Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
integral e^sen(x) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de $ \int e^{\sin(x)} \cos(x) , dx $. O conteúdo que vamos usar aqui é integração por substituição, uma técnica que facilita resolver integrais complicadas ao mudar a variável de integração. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser derivada, simplifica a integral. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que está dentro da integral: $ e^{\sin(x)} \cos(x) $. Notamos que temos uma função exponencial $ e^{\sin(x)} $ e multiplicada por $ \cos(x) $. Aqui, percebemos que a derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $, o que é uma dica para usarmos a substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = sin(x)
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $ para encontrar $ du $:
x
Ou seja:
du
Isso é ótimo porque na nossa integral original temos $ \cos(x) , dx $, que agora podemos substituir por $ du $.

Passo 4

Substituindo $ u = \sin(x) $ e $ du = \cos(x) , dx $ na integral original, temos:
u = sin(x)
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

Vamos integrar $ e^{u} $ em relação a $ u $. Sabemos que:
e^u
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original substituindo $ u = \sin(x) $:
u = sin(x)

Resposta

Então, a integral indefinida de $ e^{\sin(x)} \cos(x) , dx $ é:
e^sin(x) cos(x) , dx

Exercícios relacionados