Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de $ \int e^{\sin(x)} \cos(x) , dx $. O conteúdo que vamos usar aqui é integração por substituição, uma técnica que facilita resolver integrais complicadas ao mudar a variável de integração. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser derivada, simplifica a integral. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que está dentro da integral: $ e^{\sin(x)} \cos(x) $. Notamos que temos uma função exponencial $ e^{\sin(x)} $ e multiplicada por $ \cos(x) $. Aqui, percebemos que a derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $, o que é uma dica para usarmos a substituição.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $ para encontrar $ du $:
Ou seja:
Isso é ótimo porque na nossa integral original temos $ \cos(x) , dx $, que agora podemos substituir por $ du $.
Passo 4
Substituindo $ u = \sin(x) $ e $ du = \cos(x) , dx $ na integral original, temos:
Agora, a integral ficou muito mais simples!
Passo 5
Vamos integrar $ e^{u} $ em relação a $ u $. Sabemos que:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original substituindo $ u = \sin(x) $:
Resposta
Então, a integral indefinida de $ e^{\sin(x)} \cos(x) , dx $ é: