Calcule as derivadas abaixo:
Calcule as derivadas de ordem primeira, segunda, terceira e quarta de
f(x):=varphi(x) cdot g(x)
em termos de varphi e g e suas derivadas, onde varphi: R R, g: R R são funções infinitamente deriváveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas de primeira, segunda, terceira e quarta ordem da função $ f(x) = \varphi(x) \cdot g(x) $. Isso envolve a regra do produto da derivação. Para resolver, vamos precisar saber como derivar produtos de funções e aplicar isso várias vezes para obter as derivadas de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $. Lembra que, quando temos um produto de duas funções, a derivada dele é dada pela regra do produto:
f(x)
Aqui, $ \varphi’(x) $ é a derivada de $ \varphi(x) $ e $ g’(x) $ é a derivada de $ g(x) $.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada. A gente vai derivar $ f’(x) $ que já encontramos:
f'(x)
Explicando:
  • Derivamos $ \varphi’(x) \cdot g(x) $ e usamos a regra do produto, resultando em $ \varphi’’(x) \cdot g(x) + \varphi’(x) \cdot g’(x) $.
  • Derivamos $ \varphi(x) \cdot g’(x) $ da mesma forma, obtendo $ \varphi’(x) \cdot g’(x) + \varphi(x) \cdot g’’(x) $.
  • Somando as partes iguais, temos $ 2\varphi’(x) \cdot g’(x) $.

Passo 4

Vamos para a terceira derivada $ f’’’(x) $. Precisamos derivar $ f’’(x) $:
f'''(x)
Detalhando:
  • Derivamos cada termo de $ f’’(x) $ usando a regra do produto.
  • Os coeficientes 3 aparecem porque cada derivação adicional aumenta a quantidade de combinações dos termos derivados.

Passo 5

Vamos finalmente calcular a quarta derivada $ f’’’’(x) $. Derivamos $ f’’’(x) $:
f''''(x)
Aqui:
  • Continuamos aplicando a regra do produto a cada termo.
  • Os coeficientes (4, 6, 4) seguem o padrão do desenvolvimento binomial, que ocorre quando derivamos produtos múltiplas vezes.

Resposta

As derivadas de $ f(x) = \varphi(x) \cdot g(x) $ são:
f(x) = varphi(x) cdot g(x)

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