Calcule as derivadas abaixo:
Calcule as derivadas de ordem primeira, segunda, terceira e quarta de
em termos de
e
e suas derivadas, onde
são funções infinitamente deriváveis.
Calcule as derivadas de ordem primeira, segunda, terceira e quarta de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas de primeira, segunda, terceira e quarta ordem da função $ f(x) = \varphi(x) \cdot g(x) $. Isso envolve a regra do produto da derivação. Para resolver, vamos precisar saber como derivar produtos de funções e aplicar isso várias vezes para obter as derivadas de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $. Lembra que, quando temos um produto de duas funções, a derivada dele é dada pela regra do produto:
Aqui, $ \varphi’(x) $ é a derivada de $ \varphi(x) $ e $ g’(x) $ é a derivada de $ g(x) $.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada. A gente vai derivar $ f’(x) $ que já encontramos:
Explicando:
- Derivamos $ \varphi’(x) \cdot g(x) $ e usamos a regra do produto, resultando em $ \varphi’’(x) \cdot g(x) + \varphi’(x) \cdot g’(x) $.
- Derivamos $ \varphi(x) \cdot g’(x) $ da mesma forma, obtendo $ \varphi’(x) \cdot g’(x) + \varphi(x) \cdot g’’(x) $.
- Somando as partes iguais, temos $ 2\varphi’(x) \cdot g’(x) $.
Passo 4
Vamos para a terceira derivada $ f’’’(x) $. Precisamos derivar $ f’’(x) $:
Detalhando:
- Derivamos cada termo de $ f’’(x) $ usando a regra do produto.
- Os coeficientes 3 aparecem porque cada derivação adicional aumenta a quantidade de combinações dos termos derivados.
Passo 5
Vamos finalmente calcular a quarta derivada $ f’’’’(x) $. Derivamos $ f’’’(x) $:
Aqui:
- Continuamos aplicando a regra do produto a cada termo.
- Os coeficientes (4, 6, 4) seguem o padrão do desenvolvimento binomial, que ocorre quando derivamos produtos múltiplas vezes.
Resposta
As derivadas de $ f(x) = \varphi(x) \cdot g(x) $ são: