Calcule as derivadas abaixo:
f: R R dada por f(x):=ln (g(x)), onde g: R (0,+infty) é uma função derivável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = ln(g(x)) , onde g é uma função que recebe números reais e retorna valores positivos, ou seja, g: R (0,+infty) . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada dessa função f . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a derivada do logaritmo natural. Sabemos que a derivada de ln(u) em relação a x , onde u é uma função de x , é dada por:
ddx ln(u) = 1u cdot dudx
Essa é a chamada regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função f(x) = ln(g(x)) , identificamos que u = g(x) . Então, a derivada de f em relação a x fica:
f'(x) = 1g(x) cdot g'(x)
Aqui, g'(x) é a derivada de g(x) em relação a x .

Resposta

A derivada da função f(x) = ln(g(x)) é:
f'(x) = g'(x)g(x)

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