Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e entender o que vamos precisar para resolvê-la. Precisamos calcular a integral indefinida
. O conteúdo da matéria envolve cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes para resolver essa integral.
Passo 2
Vamos começar aplicando a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 3
Calculamos
e
a partir das escolhas de
e
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. Vamos aplicar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
Passo 6
Calculamos
e
para essa nova escolha:
Passo 7
Aplicamos a fórmula da integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, retornamos à nossa expressão original:
Isso se simplifica para:
Passo 9
Vamos chamar a integral original de
:
Passo 10
Somamos
dos dois lados:
Passo 11
Isolamos
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é: