Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
integral e^2 x cos (2 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e entender o que vamos precisar para resolvê-la. Precisamos calcular a integral indefinida integral e^2 x cos (2 x) , dx. O conteúdo da matéria envolve cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes para resolver essa integral.

Passo 2

Vamos começar aplicando a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Vamos escolher:
u = e^2x e dv = cos(2x) , dx

Passo 3

Calculamos du e v a partir das escolhas de u e dv.
du = ddx(e^2x) , dx = 2 e^2x , dx
v = integral cos(2x) , dx = sin(2x)2

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral e^2x cos(2x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= e^2x cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 cdot 2 e^2x , dx
Simplificando:
= e^2x sin(2x)2 - integral e^2x sin(2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral integral e^2x sin(2x) , dx. Vamos aplicar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
u = e^2x e dv = sin(2x) , dx

Passo 6

Calculamos du e v para essa nova escolha:
du = 2 e^2x , dx
v = integral sin(2x) , dx = -cos(2x)2

Passo 7

Aplicamos a fórmula da integração por partes novamente:
integral e^2x sin(2x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= e^2x cdot (-cos(2x)2) - integral (-cos(2x)2) cdot 2 e^2x , dx
Simplificando:
= -e^2x cos(2x)2 + integral e^2x cos(2x) , dx

Passo 8

Agora, retornamos à nossa expressão original:
integral e^2x cos(2x) , dx = e^2x sin(2x)2 - ( -e^2x cos(2x)2 + integral e^2x cos(2x) , dx )
Isso se simplifica para:
integral e^2x cos(2x) , dx = e^2x sin(2x)2 + e^2x cos(2x)2 - integral e^2x cos(2x) , dx

Passo 9

Vamos chamar a integral original de I:
I = e^2x sin(2x)2 + e^2x cos(2x)2 - I

Passo 10

Somamos I dos dois lados:
2I = e^2x (sin(2x) + cos(2x))2

Passo 11

Isolamos I:
I = e^2x (sin(2x) + cos(2x))4 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
integral e^2x cos(2x) , dx = e^2x (sin(2x) + cos(2x))4 + C

Exercícios relacionados