Nos Exercs. 3 a 8, obtenha as séries de Laurent das funçōes dadas, nas situações indicadas.
f(z)=1(z-1)(z-2), z0=1, |z-1|>1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=1(z-1)(z-2)
em torno de z0=1 e válida na região |z-1|>1. O tema é expansão em potências negativas (Laurent externa). Vamos usar a mudança de variável w=z-1, decomposição em frações parciais e a expansão de 11-u.

Passo 2

Defina
w = z-1,
então
z-2 = (z-1)-1 = w-1
e
f(z)=1(z-1)(z-2)=1w,(w-1)

Passo 3

Fazemos frações parciais em
Temos
daí . Logo

Passo 4

Para |w|>1 escrevemos
1w-1 = 1w,11-tfrac1w = 1wsumn=0^inftyl(tfrac1wr)^n = sumn=0^inftyw^-(n+1)

Passo 5

Substituindo em f(z):
f(z) = -w^-1 + sumn=0^inftyw^-(n+1) = sumn=0^inftyw^-(n+1) - w^-1 = sumn=1^inftyw^-(n+1)
Renumerando k=n+1
f(z)=sumk=2^inftyw^-k =sumk=2^infty(z-1)^-k,
válido para |z-1|>1.

Resposta

f(z)=sumk=2^infty1(z-1)^k, |z-1|>1

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