Nos Exercs. 3 a 8, obtenha as séries de Laurent das funçōes dadas, nas situações indicadas.
f(z)=1(z-i)(z-2), z0=2, 0<|z-2|<raiz5.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=1(z-i)(z-2)
em torno de z0=2, válida na coroa
0<|z-2|<raiz5
O conteúdo é expansão em série de potências (geométrica) para obter termos negativos e positivos em (z-2).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
w = z - 2,
de modo que z = 2 + w e o centro da expansão fica em w=0.

Passo 3

Em função de w temos
f(z)=1l((2+w)-ir),w =1(2-i+w),w
Reescrevendo
f(z)=1w,12-i+w =12-i,1w,11+w2-i

Passo 4

Como |w|<|2-i|=raiz5, usamos a série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n,
com u=w2-i. Logo
11+w2-i =sumn=0^infty(-1)^nl(w2-ir)^n
Assim
f(z) =12-i,1w sumn=0^infty(-1)^nw^n(2-i)^n =sumn=0^infty(-1)^n(2-i)^,n+1,w^,n-1

Passo 5

Voltando a variável original w=z-2, a série de Laurent é
boxed f(z) =sumn=0^infty(-1)^n(2-i)^,n+1,(z-2)^,n-1, 0<|z-2|<raiz5

Resposta

f(z) =sumn=0^infty(-1)^n(2-i)^,n+1,(z-2)^,n-1, 0<|z-2|<raiz5

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