Calcule as derivadas abaixo:
Sabendo que cos ^prime=-sin e sin ^prime=cos, cacule as derivadas primeira e segunda de f:(0,+infty) R dada por sin ((ln (raizx))^3).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(x)=sinl((ln(raizx))^3r), x>0
O conteúdo principal aqui é o uso da regra da cadeia (para compor derivadas de funções seno e logarítmo) e depois a regra do produto (na segunda derivada).

Passo 2

Primeiro simplificamos o “núcleo” interno:
ln(raizx)=lnl(x^1/2r)=tfrac12,ln x
Logo podemos definir
u(x) = l(ln(raizx)r)^3 = l(tfrac12,ln xr)^3 = (ln x)^38
Assim
f(x)=sinl(u(x)r)

Passo 3

Para achar f'(x), aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=cosl(u(x)r),u'(x)
Agora calculamos u'(x). Como
u(x)=(ln x)^38,
temos
u'(x) =18cdot 3(ln x)^2cdotddx(ln x) =3(ln x)^28cdot1x =3(ln x)^28x
Portanto
boxed f'(x) =cos!l((ln x)^3/8r),3(ln x)^28x

Passo 4

Para obter f''(x), derivamos
f'(x) =cosl(u(x)r),g(x), onde g(x)=3(ln x)^28x
Usamos a regra do produto:
f''(x) =-sinl(u(x)r),u'(x),g(x) +cosl(u(x)r),g'(x)
Já sabemos u'(x)=g(x). Falta g'(x).
Como
g(x)=38,(ln x)^2,x^-1,
diferenciando,
g'(x) =38l[2(ln x)cdot1xcdot x^-1 +(ln x)^2cdot(-1)x^-2r] =38,2ln x-(ln x)^2x^2

Passo 5

Substituindo em f''(x):
f''(x) =-sin!l(u(x)r),l(u'(x)r)^2 +cos!l(u(x)r),g'(x)
=-sin!l(tfrac(ln x)^38r) l(3(ln x)^28xr)^2 +cos!l(tfrac(ln x)^38r) 3l(2ln x-(ln x)^2r)8x^2

Resposta

f'(x) =cos!l(tfrac(ln x)^38r),3(ln x)^28x,
f''(x) =-sin!l(tfrac(ln x)^38r) l(3(ln x)^28xr)^2 +cos!l(tfrac(ln x)^38r) 3l(2ln x-(ln x)^2r)8x^2

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