Derive:
f(t)=\sqrt{\frac{t+\operatorname{sen} t}{t-\operatorname{sen} t}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: \displaystyle f(t)=\sqrt{\frac{t+\operatorname{sen} t}{t-\operatorname{sen} t}}.
  • Pedido: encontrar a derivada f'(t).
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
  • A função está na forma de raiz quadrada de uma razão.
  • Saberemos aplicar as regras: regra da cadeia, regra do quociente e derivadas básicas ( \dfrac{d}{dt}\,\operatorname{sen}t=\cos t e \dfrac{d}{dt}\,t=1).

Passo 2

Reescrever a função de forma mais conveniente para derivar e aplicar a regra da cadeia.
f(t)=\sqrt{\frac{t+\operatorname{sen}t}{t-\operatorname{sen}t}}=\left(\frac{t+\operatorname{sen}t}{t-\operatorname{sen}t}\right)^{1/2}.
Defina a função interna
g(t)=\frac{t+\operatorname{sen}t}{t-\operatorname{sen}t}.
Então f(t)=\bigl(g(t)\bigr)^{1/2}. A regra da cadeia diz que, se f(t)=h(g(t)) com h(x)=x^{1/2}, então
f'(t)=h'(g(t))\cdot g'(t).
E como h(x)=x^{1/2}, tem-se
h'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto
f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{g(t)}}\;g'(t).

Passo 3

Calcular g'(t) usando a regra do quociente. Defina
u(t)=t+\operatorname{sen}t,\qquad v(t)=t-\operatorname{sen}t,
então g(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)}. As derivadas são
u'(t)=1+\cos t,\qquad v'(t)=1-\cos t,
pois \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}t=\cos t. A regra do quociente dá
g'(t)=\frac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{v(t)^2}.
Substituindo u,v,u',v':
g'(t)=\frac{(1+\cos t)(t-\operatorname{sen}t)-(t+\operatorname{sen}t)(1-\cos t)}{(t-\operatorname{sen}t)^2}.

Passo 4

Simplificar o numerador passo a passo. Denote o numerador por N:
\begin{aligned} N&=(1+\cos t)(t-\operatorname{sen}t)-(t+\operatorname{sen}t)(1-\cos t)\\[4pt] &= \bigl(t + t\cos t -\operatorname{sen}t -\operatorname{sen}t\cos t\bigr) - \bigl(t - t\cos t +\operatorname{sen}t -\operatorname{sen}t\cos t\bigr)\\[4pt] &= t + t\cos t -\operatorname{sen}t -\operatorname{sen}t\cos t - t + t\cos t -\operatorname{sen}t +\operatorname{sen}t\cos t\\[4pt] &= 2t\cos t -2\operatorname{sen}t\\[4pt] &= 2\bigl(t\cos t-\operatorname{sen}t\bigr). \end{aligned}
Logo
g'(t)=\frac{2\bigl(t\cos t-\operatorname{sen}t\bigr)}{(t-\operatorname{sen}t)^2}.]

Passo 5

Voltar para f'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{g(t)}}\,g'(t) e substituir g(t) e g'(t):
f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{\dfrac{t+\operatorname{sen}t}{t-\operatorname{sen}t}}}\cdot \frac{2\bigl(t\cos t-\operatorname{sen}t\bigr)}{(t-\operatorname{sen}t)^2}.
Cortar o fator 2:
f'(t)=\frac{t\cos t-\operatorname{sen}t}{\sqrt{\dfrac{t+\operatorname{sen}t}{t-\operatorname{sen}t}}\;(t-\operatorname{sen}t)^2}.
Agora simplificar o denominador. Observe que
\sqrt{\frac{t+\operatorname{sen}t}{t-\operatorname{sen}t}}\;(t-\operatorname{sen}t)^2 =(t-\operatorname{sen}t)^2\frac{\sqrt{t+\operatorname{sen}t}}{\sqrt{t-\operatorname{sen}t}} =(t-\operatorname{sen}t)^{3/2}\sqrt{t+\operatorname{sen}t}.
Portanto uma forma compacta e elegante para a derivada é
\boxed{\,f'(t)=\dfrac{t\cos t-\operatorname{sen}t}{(t-\operatorname{sen}t)^{3/2}\,\sqrt{t+\operatorname{sen}t}}\,}.

Resposta

\displaystyle f'(t)=\frac{t\cos t-\operatorname{sen}t}{(t-\operatorname{sen}t)^{3/2}\sqrt{t+\operatorname{sen}t}}

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