Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\sqrt{1-x \cos \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{1 - x\cos\bigl(x^{2}\bigr)}.
Para resolver, vamos usar o chain rule (regra da cadeia) na função composta f(x)=\bigl[g(x)\bigr]^{1/2} e, dentro dela, usar o product rule (regra do produto) para derivar g(x)=1 - x\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 2

Definimos
g(x)=1 - x\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Então
f(x)=\bigl[g(x)\bigr]^{1/2}.

Passo 3

Vamos calcular g'(x). Note que
g'(x) = -\frac{d}{dx}\bigl[x\cos(x^{2})\bigr].
Para \displaystyle h(x)=x\cos(x^{2}), aplicamos a regra do produto:
h'(x) = \frac{d}{dx}[x]\;\cos(x^{2}) + x \;\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^{2})\bigr].
Como \frac{d}{dx}[x]=1 e \frac{d}{dx}[\cos(x^{2})]=-\,\sin(x^{2})\cdot2x, temos
h'(x) = \cos(x^{2}) + x\bigl(-2x\sin(x^{2})\bigr) = \cos(x^{2}) - 2x^{2}\sin(x^{2}).
Logo
g'(x) = -\,h'(x) = -\cos(x^{2}) + 2x^{2}\sin(x^{2}).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia em
f(x)=\bigl[g(x)\bigr]^{1/2}.
Temos
f'(x) = \frac{1}{2}\bigl[g(x)\bigr]^{-1/2}\;g'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.
Substituindo g(x)=1 - x\cos(x^{2}) e g'(x)=-\cos(x^{2})+2x^{2}\sin(x^{2}), vem
f'(x) = \frac{-\cos(x^{2}) + 2x^{2}\sin(x^{2})} {2\,\sqrt{\,1 - x\cos(x^{2})\,}}.

Resposta

f'(x) = \frac{2x^{2}\sin(x^{2}) - \cos(x^{2})} {2\,\sqrt{\,1 - x\cos(x^{2})\,}}.

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