Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\sqrt{1-x \sqrt{1-x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{\,1 - x\,\sqrt{1-x}\,}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia combinada com a regra do produto. Vamos identificar funções intermediárias e aplicar passo a passo.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares para clarear a composição:
h(x)=\sqrt{1-x},
g(x)=x\,h(x)=x\,\sqrt{1-x},
e então
f(x)=\sqrt{\,1 - g(x)\,}.
Dessa forma, derivaremos primeiro h(x), depois g(x) e por fim f(x).

Passo 3

Calculando h'(x). Como h(x)=(1-x)^{1/2}, pela regra da cadeia:
h'(x)=\tfrac12 (1-x)^{-1/2}\cdot(-1) =-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.

Passo 4

Agora g(x)=x\,h(x). Pela regra do produto:
g'(x)=1\cdot h(x) + x\cdot h'(x) =\sqrt{1-x} + x\Bigl(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\Bigr) =\sqrt{1-x}-\frac{x}{2\sqrt{1-x}}.

Passo 5

Por fim, f(x)=\bigl(1 - g(x)\bigr)^{1/2}. Pela regra da cadeia:
f'(x) =\frac12\bigl(1-g(x)\bigr)^{-1/2}\cdot\bigl(-g'(x)\bigr) =-\frac{g'(x)}{2\sqrt{\,1-g(x)\,}}.

Passo 6

Substituindo g'(x) e g(x) e simplificando:
-\;g'(x) =-\Bigl(\sqrt{1-x}-\frac{x}{2\sqrt{1-x}}\Bigr) =\frac{3x-2}{2\sqrt{1-x}},
pois
-\Bigl(\sqrt{1-x}\Bigr) =-\frac{2(1-x)}{2\sqrt{1-x}} =-\frac{2-2x}{2\sqrt{1-x}},
e somando com \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \frac{3x-2}{2\sqrt{1-x}}. Logo
f'(x) =\frac{3x-2}{2\sqrt{1-x}}\;\cdot\;\frac{1}{2\sqrt{\,1 - x\sqrt{1-x}\,}} =\frac{3x-2}{4\sqrt{1-x}\,\sqrt{1 - x\sqrt{1-x}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x-2}{4\sqrt{1-x}\,\sqrt{1 - x\sqrt{1-x}}}.

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