Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\frac{\tan \sqrt{x}}{1+x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\tan\sqrt{x}}{1+x^{3}},
logo vamos usar a regra do quociente e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar \tan(\sqrt{x}).

Passo 2

Definimos
u(x)=\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr), \qquad v(x)=1+x^{3},
então
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}
e pela regra do quociente
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x). Primeiro note que u(x)=\tan(t) com t=\sqrt{x}. Pela regra da cadeia:
u'(x) =\operatorname{sec}^{2}(t)\,\frac{dt}{dx} =\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Calculamos v'(x). Como v(x)=1+x^{3},
v'(x)=3x^{2}.

Passo 5

Substituindo u'(x), u(x), v(x) e v'(x) na fórmula do quociente, obtemos
f'(x) =\frac{\displaystyle \operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,(1+x^{3}) -\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,(3x^{2}) }{(1+x^{3})^{2}}.

Passo 6

Se quisermos, podemos deixar a derivada mais arrumada multiplicando a fração interna por 1:
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,(1+x^{3})}{2\sqrt{x}\,(1+x^{3})^{2}} -\frac{3x^{2}\,\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{(1+x^{3})^{2}},
ou ainda
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{x}\,(1+x^{3})} -\frac{3x^{2}\,\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{(1+x^{3})^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,(1+x^{3})}{2\sqrt{x}\,(1+x^{3})^{2}} -\frac{3x^{2}\,\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{(1+x^{3})^{2}}.

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