Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+1}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x+1}}}
e pede f'(x). O conteúdo necessário é a regra da cadeia para composições de funções radicais.

Passo 2

Definimos funções internas
u(x) = \sqrt{x+1},\quad v(x) = \sqrt{x + u(x)},\quad f(x) = \sqrt{x + v(x)}.
A estratégia é aplicar a regra da cadeia sucessivamente: primeiro em u, depois em v e por fim em f.

Passo 3

Para u(x) = \sqrt{x+1} temos
u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}.

Passo 4

Para v(x) = \sqrt{x + u(x)} aplicamos a regra da cadeia:
v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + u(x)}} \,\bigl(1 + u'(x)\bigr) = \frac{1 + \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x+1}}}.

Passo 5

Para f(x) = \sqrt{x + v(x)} aplicamos novamente a regra da cadeia:
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + v(x)}} \,\bigl(1 + v'(x)\bigr).
Substituindo v'(x), obtemos
f'(x) = \frac{1 + \dfrac{1 + \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x+1}}}} {2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x+1}}}}.

Resposta

f'(x) = \frac{1 + \dfrac{1 + \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x+1}}}} {2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x+1}}}}.

Exercícios relacionados