Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\frac{\operatorname{arcccos}\left(1-x^{2}\right)}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para derivar
f(x)=\frac{\operatorname{arccos}\bigl(1 - x^{2}\bigr)}{x^{2}+1}.
Aqui vamos usar dois conteúdos principais:
  1. a fórmula da derivada da função composta \operatorname{arccos}(u), que é
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr] =-\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}};
  1. a regra do quociente, que diz
\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{N(x)}{D(x)}\Bigr] =\frac{D(x)\,N'(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^{2}}.

Passo 2

Definimos N(x)=\operatorname{arccos}\bigl(1 - x^{2}\bigr). Seja u(x)=1-x^{2}, então u'(x)=-2x. Pela derivada de \operatorname{arccos}:
N'(x) =-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^{2}}} =-\frac{-2x}{\sqrt{1-(1-x^{2})^{2}}} =\frac{2x}{\sqrt{1-(1-x^{2})^{2}}}.

Passo 3

Definimos D(x)=x^{2}+1. A derivada é direta:
D'(x)=2x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{D(x)\,N'(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^{2}} =\frac{(x^{2}+1)\,\frac{2x}{\sqrt{1-(1-x^{2})^{2}}} -\operatorname{arccos}\bigl(1 - x^{2}\bigr)\,\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Fatorando 2x no numerador, obtemos a forma simplificada:

Resposta

f'(x) =\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\biggl[\frac{x^{2}+1}{\sqrt{1-(1-x^{2})^{2}}} -\operatorname{arccos}\bigl(1 - x^{2}\bigr)\biggr].

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