Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\operatorname{arcsen}\left(1-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\arcsin\bigl(1 - x^2\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a derivada da função composta e a fórmula da derivada de \arcsin(u), que é
\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin(u)\bigr] =\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=1 - x^2,
de modo que
f(x)=\arcsin\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1 - \bigl(u(x)\bigr)^2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=1 - x^2, temos
u'(x)=-2x.
Substituindo em f'(x), fica
f'(x) =\frac{-2x}{\sqrt{1 - \bigl(1 - x^2\bigr)^2}}.

Passo 4

Se quisermos, podemos simplificar o denominador:
1 - \bigl(1 - x^2\bigr)^2 =1 - \bigl(1 - 2x^2 + x^4\bigr) =2x^2 - x^4 =x^2\,(2 - x^2).
Então
\sqrt{1 - \bigl(1 - x^2\bigr)^2} =\sqrt{x^2\,(2 - x^2)} =|x|\sqrt{2 - x^2},
e a derivada torna-se
f'(x) =\frac{-2x}{|x|\sqrt{2 - x^2}}.
Mas a forma mais direta e suficiente é manter
f'(x) =-\frac{2x}{\sqrt{1 - \bigl(1 - x^2\bigr)^2}}.

Resposta

f'(x) =-\frac{2x}{\sqrt{1 - \bigl(1 - x^2\bigr)^2}}.

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