Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\sqrt{\operatorname{arccotg}(15 x-1)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{\operatorname{arccotg}(15 x-1)}
e pede que se calcule a derivada f'(x).
Informações relevantes:
  • A função é uma composição de três partes: a função linear 15x-1, a função inversa da cotangente \operatorname{arccotg}(\cdot) aplicada ao anterior, e a raiz quadrada (ou potência 1/2) aplicada ao resultado.
  • Quer-se a derivada em termos de x. Não foram dadas restrições adicionais sobre o domínio, mas é bom lembrar que a expressão sob a raiz deve ser positiva para f real.

Passo 2

Estratégia (em termos de funções internas): vamos aplicar a regra da cadeia. Para organizar, defino a função interna e a externa:
u(x)=\operatorname{arccotg}(15x-1), \qquad f(x)=\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}.
Regra da cadeia (explicação didática): se F(t)=t^{1/2} e t=u(x), então a derivada de F(u(x)) é
\frac{d}{dx}F(u(x))=F'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui, F'(t)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}. Ou seja, ao derivar uma potência t^{1/2} tratamos a potência normalmente e depois multiplicamos pela derivada do que está dentro.

Passo 3

Derivar u(x)=\operatorname{arccotg}(15x-1). Vou obter a fórmula geral de forma clara:
Se y=\operatorname{arccotg}(z), então por definição \cot y = z.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando z como função de x):
-\csc^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}.
Usando a identidade trigonométrica 1+\cot^{2}y=\csc^{2}y e lembrando que \cot y=z, temos \csc^{2}y=1+z^{2}. Substituindo:
-\bigl(1+z^{2}\bigr)\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx} \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+z^{2}}\cdot\frac{dz}{dx}.
Aplicando com z=15x-1 (ou seja, dz/dx=15), obtemos
u'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arccotg}(15x-1)=-\frac{15}{1+(15x-1)^{2}}.

Passo 4

Agora juntamos as duas partes pela regra da cadeia. Sabendo que f(x)=u(x)^{1/2} e que F'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}, temos
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\operatorname{arccotg}(15x-1) e u'(x)=-\dfrac{15}{1+(15x-1)^{2}}, vem
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arccotg}(15x-1)}}\cdot\left(-\frac{15}{1+(15x-1)^{2}}\right).
Arrumando em uma única fração:
f'(x)=-\dfrac{15}{2\sqrt{\operatorname{arccotg}(15x-1)}\bigl(1+(15x-1)^{2}\bigr)}.

Passo 5

Comentário prático para a prova (dica amiga): escreva primeiro as funções internas e externas, aplique a regra da cadeia passo a passo, e lembre-se da derivada de \operatorname{arccotg} por diferenciação implícita (é negativa). Se precisar, mostre a derivação de \operatorname{arccotg} rapidamente como fiz no passo anterior para evitar esquecer o sinal negativo.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{15}{2\sqrt{\operatorname{arccotg}(15x-1)}\bigl(1+(15x-1)^{2}\bigr)}

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