Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se calcule a derivada
.
Informações relevantes:
- A função é uma composição de três partes: a função linear
, a função inversa da cotangente aplicada ao anterior, e a raiz quadrada (ou potência ) aplicada ao resultado. - Quer-se a derivada em termos de
. Não foram dadas restrições adicionais sobre o domínio, mas é bom lembrar que a expressão sob a raiz deve ser positiva para real.
Passo 2
Estratégia (em termos de funções internas): vamos aplicar a regra da cadeia. Para organizar, defino a função interna e a externa:
Regra da cadeia (explicação didática): se
e
, então a derivada de
é
Aqui,
. Ou seja, ao derivar uma potência
tratamos a potência normalmente e depois multiplicamos pela derivada do que está dentro.
Passo 3
Derivar
. Vou obter a fórmula geral de forma clara:
Se
, então por definição
.
Diferenciando ambos os lados em relação a (tratando
como função de
):
Diferenciando ambos os lados em relação a
Usando a identidade trigonométrica
e lembrando que
, temos
. Substituindo:
Aplicando com
(ou seja,
), obtemos
Passo 4
Agora juntamos as duas partes pela regra da cadeia. Sabendo que
e que
, temos
Substituindo
e
, vem
Arrumando em uma única fração:
Passo 5
Comentário prático para a prova (dica amiga): escreva primeiro as funções internas e externas, aplique a regra da cadeia passo a passo, e lembre-se da derivada de
por diferenciação implícita (é negativa). Se precisar, mostre a derivação de
rapidamente como fiz no passo anterior para evitar esquecer o sinal negativo.