Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{arccosec}(s)))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função. A função dada é (assumindo que a variável é x; no enunciado apareceu s, mas vou interpretar como x):
f(x)=\operatorname{sen}\big(\operatorname{sen}(\operatorname{arccosec}(x))\big).
Informações importantes que o enunciado dá (ou que decorrem da definição):
  • A função envolve \operatorname{arccosec}(x), logo o argumento x precisa estar no domínio dessa função inversa: |x|\ge 1.
  • A tarefa é calcular f'(x) para x no domínio da função.

Passo 2

Identificar uma simplificação útil: a composição \operatorname{sen}(\operatorname{arccosec}(x)) pode ser simplificada diretamente usando a definição de arco-cosecante.
Seja y=\operatorname{arccosec}(x). Isso significa que \csc(y)=x. Pela definição da cosecante,
\csc(y)=\frac{1}{\sin(y)}=x \quad\Rightarrow\quad \sin(y)=\frac{1}{x}.
Portanto, para todo x no domínio |x|\ge 1,
\operatorname{sen}(\operatorname{arccosec}(x))=\sin(\operatorname{arccosec}(x))=\frac{1}{x}.

Passo 3

Usando a simplificação do passo anterior, reescreve-se f de forma muito mais simples:
f(x)=\operatorname{sen}\!\big(\operatorname{sen}(\operatorname{arccosec}(x))\big)=\sin\!\left(\frac{1}{x}\right).
Repare que, embora a expressão \sin(1/x) esteja definida para todo x\neq 0, a função original só está definida para |x|\ge 1. Portanto vamos considerar a diferenciação em x tal que |x|\ge 1.

Passo 4

Agora diferenciamos \displaystyle f(x)=\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (lembrando de forma simples): se F(x)=\sin(u(x)) então
F'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Aqui u(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}. Calculando u'(x) pela regra do poder:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}.
Essa é a derivada para x no domínio original |x|\ge 1.

Passo 6

Comentário extra (para consolidar a intuição): se alguém tentasse diferenciar sem perceber a simplificação, aplicaria a cadeia tripla
f(x)=\sin\big(\sin(\operatorname{arccosec}(x))\big),
obtendo
f'(x)=\cos\big(\sin(\operatorname{arccosec}(x))\big)\cdot\cos(\operatorname{arccosec}(x))\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{arccosec}(x).
Usando \sin(\operatorname{arccosec}(x))=1/x, \cos(\operatorname{arccosec}(x))=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{|x|} e \dfrac{d}{dx}\operatorname{arccosec}(x)=-\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}, o produto das duas últimas frações cancela e resulta em -1/x^{2}, levando à mesma resposta obtida acima. Isso mostra consistência e explica por que a simplificação é segura.

Resposta

-\dfrac{\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right)}{x^{2}}

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