Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função. A função dada é (assumindo que a variável é
; no enunciado apareceu
, mas vou interpretar como
):
Informações importantes que o enunciado dá (ou que decorrem da definição):
- A função envolve
, logo o argumento precisa estar no domínio dessa função inversa: . - A tarefa é calcular
para no domínio da função.
Passo 2
Identificar uma simplificação útil: a composição
pode ser simplificada diretamente usando a definição de arco-cosecante.
Seja
. Isso significa que
. Pela definição da cosecante,
Portanto, para todo
no domínio
,
Passo 3
Usando a simplificação do passo anterior, reescreve-se
de forma muito mais simples:
Repare que, embora a expressão
esteja definida para todo
, a função original só está definida para
. Portanto vamos considerar a diferenciação em
tal que
.
Passo 4
Agora diferenciamos
usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (lembrando de forma simples): se
então
Aqui
. Calculando
pela regra do poder:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Essa é a derivada para
no domínio original
.
Passo 6
Comentário extra (para consolidar a intuição): se alguém tentasse diferenciar sem perceber a simplificação, aplicaria a cadeia tripla
obtendo
Usando
,
e
, o produto das duas últimas frações cancela e resulta em
, levando à mesma resposta obtida acima. Isso mostra consistência e explica por que a simplificação é segura.