Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função polinomial não constante. Mostre que:
Se \alpha é uma raiz de f e f(x)=(x-\alpha)^{k} g(x), com g(x) \neq 0 então, para x \in \mathbb{R} tal que f(x) \neq 0, temos: \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{k}{1-\alpha}+\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função polinomial f não constante, com uma raiz \alpha de multiplicidade k. Isso significa que podemos escrever
f(x) = (x-\alpha)^k\,g(x),
onde g(x) é outro polinômio tal que g(\alpha)\neq 0, e p ara todo x com f(x)\neq 0 vale também g(x)\neq 0. Queremos mostrar que
\frac{f'(x)}{f(x)} \;=\; \frac{k}{x-\alpha} \;+\;\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto para derivar
f(x)=(x-\alpha)^k\,g(x).
Como \frac{d}{dx}(x-\alpha)^k = k\,(x-\alpha)^{k-1}, temos
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl((x-\alpha)^k\bigr)\,g(x) + (x-\alpha)^k\,g'(x) = k\,(x-\alpha)^{k-1}g(x)+(x-\alpha)^k g'(x).

Passo 3

Dividimos f'(x) por f(x):
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{k\,(x-\alpha)^{k-1}g(x)+(x-\alpha)^k g'(x)}{(x-\alpha)^k g(x)} = \frac{k\,(x-\alpha)^{k-1}g(x)}{(x-\alpha)^k g(x)} +\frac{(x-\alpha)^k g'(x)}{(x-\alpha)^k g(x)}.
Em cada parcela cancelam-se fatores iguais, ficando
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{k}{x-\alpha} + \frac{g'(x)}{g(x)}.

Resposta

\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{k}{x-\alpha} + \frac{g'(x)}{g(x)}.

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