Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função polinomial não constante. Mostre que:
Se f(x)=\alpha\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right) \ldots\left(x-\alpha_{n}\right), com \alpha, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{R} e \alpha \neq 0, então, para x \neq \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, temos: \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{x-\alpha_{j}}

Passo 1

O enunciado dá uma função polinomial \displaystyle f(x)=\alpha\,(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n})
com \alpha\neq0, e pede para mostrar que, para x\neq\alpha_{j},
\frac{f'(x)}{f(x)} \;=\; \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{x-\alpha_{j}}.
O conteúdo principal aqui é a ideia de derivada de produto iterado (regra do produto) ou, equivalentemente, a derivada logarítmica.

Passo 2

Defina \displaystyle g(x)=\prod_{j=1}^{n}(x-\alpha_{j}),
de modo que f(x)=\alpha\,g(x) com \alpha constante.
Pela regra do produto para n fatores,
g'(x) =\sum_{k=1}^{n}\Bigl[(x-\alpha_{1})\cdots\widehat{(x-\alpha_{k})}\cdots(x-\alpha_{n})\Bigr],
onde o chapéu indica que o fator (x-\alpha_{k}) foi omitido na multiplicação.

Passo 3

Como \displaystyle f'(x)=\alpha\,g'(x) e \displaystyle f(x)=\alpha\,g(x), tem-se
\frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{\alpha\,g'(x)}{\alpha\,g(x)} =\frac{g'(x)}{g(x)} =\frac{\sum_{k=1}^{n}\prod_{j\neq k}(x-\alpha_{j})} {\prod_{j=1}^{n}(x-\alpha_{j})} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-\alpha_{k}}.

Resposta

\frac{f'(x)}{f(x)} \;=\; \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{x-\alpha_{j}}, \quad x\neq\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}.

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