calcule as derivadas abaixo:
\frac{d}{d x} \sin (2 x+3)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada em relação a x da função \sin(2x+3).
Informações dadas: a função a derivar é \sin(2x+3). Não há mais condições explícitas (domínio implícito: todos os x reais). A pergunta é única: encontrar \dfrac{d}{dx}\sin(2x+3).

Passo 2

Primeiro conceito importante: a derivada da função seno.
A fórmula que vamos usar é:
\frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
Aqui expliquei que t é uma variável genérica (pode ser x, ou uma expressão em x). Isso significa que, se tivermos uma função simples \sin(t), sua taxa de variação em relação a t é \cos(t). Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).

Passo 3

Segundo conceito necessário: derivada de uma composição (ideia do “efeito cadeia”). Quando temos uma função composta \sin(u(x)), ou seja, seno de alguma expressão u(x), a derivada é dada por multiplicar a derivada do seno avaliada no interno pela derivada do interno. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Explicando: primeiro “derivamos” a parte externa \sin(\cdot) como se o argumento fosse uma variável t, obtendo \cos(t), e depois substituímos t=u(x). Por fim multiplicamos pelo fator u'(x), que é a derivada do argumento interno. Intuitivamente, pequenas variações em x causam variações em u(x), que por sua vez afetam o seno; por isso o produto.

Passo 4

Identificar o interno na nossa função. No caso dado,
\sin(2x+3)=\sin(u(x))
com
u(x)=2x+3.
Agora calculamos a derivada do interno u(x). Como u(x) é uma função linear, usamos a regra para derivada de ax+b:
\frac{d}{dx}(ax+b)=a.
Aplicando com a=2 e b=3, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x+3)=2.
Explicando: o termo constante 3 some na derivada; o coeficiente 2 multiplica a derivada de x (que é 1), resultando em 2.

Passo 5

Aplicar a fórmula da composição (efeito cadeia) com u(x)=2x+3 e u'(x)=2. Pela fórmula do Passo 3:
\frac{d}{dx}\sin(2x+3)=\cos(2x+3)\cdot 2.
É comum escrever o fator numérico à frente:
\frac{d}{dx}\sin(2x+3)=2\cos(2x+3).
Isso já é a resposta final. Em palavras: derivei o seno como cosseno do mesmo argumento e multipliquei pela derivada do argumento 2x+3, que é 2.

Passo 6

Pequeno exemplo extra para consolidar (você pode repetir isso na prova): se eu tivesse \sin(5x), o interno é 5x com derivada 5, então
\frac{d}{dx}\sin(5x)=5\cos(5x).
Outro exemplo: para \sin(x^2), o interno é x^2 com derivada 2x, então
\frac{d}{dx}\sin(x^2)=2x\cos(x^2).
Esses exemplos seguem exatamente o mesmo padrão que usamos na questão original.

Resposta

2\cos(2x+3)

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