calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada em relação a
da função
.
Informações dadas: a função a derivar é . Não há mais condições explícitas (domínio implícito: todos os
reais). A pergunta é única: encontrar
.
Informações dadas: a função a derivar é
Passo 2
Primeiro conceito importante: a derivada da função seno.
A fórmula que vamos usar é:
A fórmula que vamos usar é:
Aqui expliquei que
é uma variável genérica (pode ser
, ou uma expressão em
). Isso significa que, se tivermos uma função simples
, sua taxa de variação em relação a
é
. Por exemplo,
.
Passo 3
Segundo conceito necessário: derivada de uma composição (ideia do “efeito cadeia”). Quando temos uma função composta
, ou seja, seno de alguma expressão
, a derivada é dada por multiplicar a derivada do seno avaliada no interno pela derivada do interno. Em fórmula:
Explicando: primeiro “derivamos” a parte externa
como se o argumento fosse uma variável
, obtendo
, e depois substituímos
. Por fim multiplicamos pelo fator
, que é a derivada do argumento interno. Intuitivamente, pequenas variações em
causam variações em
, que por sua vez afetam o seno; por isso o produto.
Passo 4
Identificar o interno na nossa função. No caso dado,
com
Agora calculamos a derivada do interno
. Como
é uma função linear, usamos a regra para derivada de
:
Aplicando com
e
, temos
Explicando: o termo constante
some na derivada; o coeficiente
multiplica a derivada de
(que é
), resultando em
.
Passo 5
Aplicar a fórmula da composição (efeito cadeia) com
e
. Pela fórmula do Passo 3:
É comum escrever o fator numérico à frente:
Isso já é a resposta final. Em palavras: derivei o seno como cosseno do mesmo argumento e multipliquei pela derivada do argumento
, que é
.
Passo 6
Pequeno exemplo extra para consolidar (você pode repetir isso na prova): se eu tivesse
, o interno é
com derivada
, então
Outro exemplo: para
, o interno é
com derivada
, então
Esses exemplos seguem exatamente o mesmo padrão que usamos na questão original.