Calcule o valor da integral \int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{cosh} (x)-e^{-x}}{x} d x :
(a) 0
(b) \infty
(c) 1
(d) não existe

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{cosh}(x)-e^{-x}}{x}\,dx
e dá quatro alternativas: (a) 0, (b) \infty, (c) 1, (d) não existe.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{cosh}(x)-e^{-x}}{x}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty).
  • Temos que analisar tanto o comportamento em x\to0^+ quanto em x\to\infty para decidir convergência/valor.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando usando as definições exponenciais das funções hiperbólicas. Lembrando as definições:
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Substituindo \operatorname{cosh}(x) na expressão do integrando:
\operatorname{cosh}(x)-e^{-x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-e^{-x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\operatorname{sinh}(x).
Portanto a integral fica
\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{cosh}(x)-e^{-x}}{x}\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sinh}(x)}{x}\,dx.

Passo 3

Analisando o comportamento em x\to0^+ (para garantir que não há singularidade não integrável): use a série de Taylor de \operatorname{sinh}(x) em torno de 0:
\operatorname{sinh}(x)=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots.
Dividindo por x obtemos
\frac{\operatorname{sinh}(x)}{x}=1+\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}+\cdots,
logo \displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{sinh}(x)}{x}=1. Isso mostra que o integrando é limitado (e contínuo) próximo de 0, portanto não há problema de divergência na origem.

Passo 4

Analisando o comportamento quando x\to\infty: usamos a expressão exponencial de \operatorname{sinh},
\operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Para grandes x o termo e^{-x} é negligível, e de fato podemos obter uma desigualdade útil. Para x\geq 1 temos e^{-x}\le e^{-1}, então
e^{x}-e^{-x}\ge e^{x}-e^{-1}.
Como e^{x}\ge e>2 para x\ge1, vale e^{x}-e^{-1}\ge \tfrac{1}{2}e^{x} (verificação: \tfrac{1}{2}e^{x}\le e^{x}-e^{-1} equivale a e^{x}\ge 2e^{-1}, que é verdadeira para x\ge1). Assim, para x\ge1,
\operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\ge \frac{1}{4}e^{x}.
Dividindo por x,
\frac{\operatorname{sinh}(x)}{x}\ge \frac{1}{4}\,\frac{e^{x}}{x}\qquad\text{para }x\ge1.
Mas para x\ge1 também temos e^{x}\ge x (pois e^{x}\ge 1+x\ge x para x\ge0), então \dfrac{e^{x}}{x}\ge 1. Combinando,
\frac{\operatorname{sinh}(x)}{x}\ge \frac{1}{4}\qquad\text{para }x\ge1.
Logo a integral sobre [1,\infty) satisfaz
\int_{1}^{\infty}\frac{\operatorname{sinh}(x)}{x}\,dx \ge \int_{1}^{\infty}\frac{1}{4}\,dx = \infty.
Portanto a integral diverge por excesso positivo (vai para +\infty).

Passo 5

Como o integrando é regular em 0 (Passo 3) mas a integral no infinito diverge para +\infty (Passo 4), concluímos que a integral imprópria não converge a um número finito: ela diverge para +\infty.

Resposta

(b) \infty

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