Calcule o valor da integral
:
(a) 0
(b)
(c) 1
(d) não existe
(a) 0
(b)
(c) 1
(d) não existe
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
e dá quatro alternativas: (a)
, (b)
, (c)
, (d) não existe.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Temos que analisar tanto o comportamento em
quanto em para decidir convergência/valor.
Passo 2
Vamos simplificar o integrando usando as definições exponenciais das funções hiperbólicas. Lembrando as definições:
Substituindo
na expressão do integrando:
Portanto a integral fica
Passo 3
Analisando o comportamento em
(para garantir que não há singularidade não integrável): use a série de Taylor de
em torno de
:
Dividindo por
obtemos
logo
. Isso mostra que o integrando é limitado (e contínuo) próximo de
, portanto não há problema de divergência na origem.
Passo 4
Analisando o comportamento quando
: usamos a expressão exponencial de
,
Para grandes
o termo
é negligível, e de fato podemos obter uma desigualdade útil. Para
temos
, então
Como
para
, vale
(verificação:
equivale a
, que é verdadeira para
). Assim, para
,
Dividindo por
,
Mas para
também temos
(pois
para
), então
. Combinando,
Logo a integral sobre
satisfaz
Portanto a integral diverge por excesso positivo (vai para
).
Passo 5
Como o integrando é regular em
(Passo 3) mas a integral no infinito diverge para
(Passo 4), concluímos que a integral imprópria não converge a um número finito: ela diverge para
.
Resposta
(b)