Calcule as derivadas abaixo:
y=(x^4+2)^5 cdot e^3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = l(x^4 + 2r)^5 cdot e^3x
Aqui vamos aplicar a regra do produto para duas funções u(x) e v(x), além da regra da cadeia para derivar l(x^4+2r)^5 e a regra da exponencial para e^3x.

Passo 2

Definimos
u(x) = l(x^4+2r)^5
Para derivar u usamos a regra da cadeia: a derivada de l(g(x)r)^5 é 5,l(g(x)r)^4cdot g'(x), com g(x)=x^4+2 e g'(x)=4x^3. Logo
u'(x) = 5l(x^4+2r)^4cdot 4x^3 = 20,x^3,l(x^4+2r)^4

Passo 3

Definimos
v(x) = e^3x
Para derivar v usamos a regra da exponencial composta:
v'(x) = e^3xcdot ddx(3x) = 3,e^3x

Passo 4

Pela regra do produto,
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Substituindo u', u, v' e v, obtemos
y' = l(20,x^3,(x^4+2)^4r),e^3x ;+;(x^4+2)^5,l(3,e^3xr)

Passo 5

Fatorando o termo comum e^3x(x^4+2)^4, resulta
y' = e^3x,(x^4+2)^4l[20x^3 + 3(x^4+2)r] = e^3x,(x^4+2)^4l(3x^4 + 20x^3 + 6r)

Resposta

y' = e^3x,(x^4+2)^4,l(3x^4 + 20x^3 + 6r)

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