Usando a derivação implícita determine
nas equações abaixo:
.
Passo 1
Entender o que o problema pede e quais informações temos.
A equação dada é
Queremos determinar
usando derivação implícita.
Informações relevantes que o enunciado dá:
-
é a variável independente. -
é uma função de , isto é ; portanto quando diferenciamos em relação a devemos usar sempre que aparecer . -
é tratado como uma constante (parâmetro). -
é uma função de (assumimos que é diferenciável), e denota sua derivada em relação a .
O que é pedido: encontrar uma expressão para
em termos de
,
,
e
.
Passo 2
Breve explicação dos conceitos que vamos usar (muito importante para a prova).
- Regra da cadeia: se
e é função de , então
Aqui
é a derivada de
em relação a
.
- Regra do produto: se
e , então
Nós usaremos a regra da cadeia ao diferenciar
(pois depende de
) e a regra do produto ao diferenciar
.
Passo 3
Diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
.
Partimos de
Derivando termo a termo com respeito a
:
-
Derivada de
é , porque . -
Derivada de
: é constante, então
usando a regra da cadeia.
- Derivada de
(produto de por ): pela regra do produto,
Passo 4
Juntando as derivadas obtidas no Passo 3 obtemos a equação derivada:
Esta é uma equação que contém
em dois termos; agora vamos isolar
.
Passo 5
Agrupar todos os termos que contêm
de um lado e os restantes do outro.
Subtraindo
de ambos os lados e subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 6
Isolar
dividindo ambos os lados por
. Importante: isso só é válido quando
— se for zero, a derivada não pode ser obtida por essa divisão e é necessária análise adicional (caso limite).
Assim,
Passo 7
Comentário final e exemplo rápido para fixar a ideia.
-
Interpretação: a derivada
depende de (e de e de e do parâmetro ). É normal em equações implícitas a derivada aparecer em termos de . -
Exemplo numérico simples (apenas para entender como substituir): se
então . Se a fórmula dá
Pronto — esse é o procedimento que você deve aplicar em prova: diferenciar termo a termo, usar cadeia quando aparecer
, usar produto em
, agrupar, fatorar e isolar
. Vá com calma, passo a passo, como fizemos aqui.