Usando a derivação implícita determine \frac{d y}{d x} nas equações abaixo:
x+t g(y)=x y.

Passo 1

Entender o que o problema pede e quais informações temos.
A equação dada é x + t\,g(y) = x\,y.
Queremos determinar \dfrac{dy}{dx} usando derivação implícita.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • x é a variável independente.
  • y é uma função de x, isto é y=y(x); portanto quando diferenciamos em relação a x devemos usar \dfrac{dy}{dx} sempre que aparecer y.
  • t é tratado como uma constante (parâmetro).
  • g é uma função de y (assumimos que é diferenciável), e g'(y) denota sua derivada em relação a y.
O que é pedido: encontrar uma expressão para \dfrac{dy}{dx} em termos de x, y, t e g'(y).

Passo 2

Breve explicação dos conceitos que vamos usar (muito importante para a prova).
  1. Regra da cadeia: se y=y(x) e h é função de y, então
\frac{d}{dx}h(y(x)) = h'(y)\frac{dy}{dx}.
Aqui h'(y) é a derivada de h em relação a y.
  1. Regra do produto: se u=u(x) e v=v(x), então
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Nós usaremos a regra da cadeia ao diferenciar g(y) (pois depende de y(x)) e a regra do produto ao diferenciar x\,y(x).

Passo 3

Diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x.
Partimos de
x + t\,g(y) = x\,y.
Derivando termo a termo com respeito a x:
  • Derivada de x é 1, porque \dfrac{d}{dx}x=1.
  • Derivada de t\,g(y): t é constante, então
\frac{d}{dx}\big(t\,g(y)\big) = t\cdot \frac{d}{dx}g(y) = t\cdot g'(y)\frac{dy}{dx},
usando a regra da cadeia.
  • Derivada de x\,y (produto de x por y(x)): pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x\,y) = \frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot \frac{d}{dx}(y) = 1\cdot y + x\cdot \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Juntando as derivadas obtidas no Passo 3 obtemos a equação derivada:
1 + t\,g'(y)\frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}.
Esta é uma equação que contém \dfrac{dy}{dx} em dois termos; agora vamos isolar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 5

Agrupar todos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} de um lado e os restantes do outro.
Subtraindo x\frac{dy}{dx} de ambos os lados e subtraindo 1 de ambos os lados:
t\,g'(y)\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx} = y - 1.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\big(t\,g'(y) - x\big)\frac{dy}{dx} = y - 1.

Passo 6

Isolar \dfrac{dy}{dx} dividindo ambos os lados por \big(t\,g'(y) - x\big). Importante: isso só é válido quando \big(t\,g'(y) - x\big)\neq 0 — se for zero, a derivada não pode ser obtida por essa divisão e é necessária análise adicional (caso limite).
Assim,
\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{t\,g'(y) - x}.

Passo 7

Comentário final e exemplo rápido para fixar a ideia.
  • Interpretação: a derivada \dfrac{dy}{dx} depende de y (e de x e de g'(y) e do parâmetro t). É normal em equações implícitas a derivada aparecer em termos de y.
  • Exemplo numérico simples (apenas para entender como substituir): se g(y)=y^2 então g'(y)=2y. Se t=1 a fórmula dá
\frac{dy}{dx}=\frac{y-1}{1\cdot 2y - x}=\frac{y-1}{2y-x}.
Pronto — esse é o procedimento que você deve aplicar em prova: diferenciar termo a termo, usar cadeia quando aparecer g(y), usar produto em x y, agrupar, fatorar e isolar \dfrac{dy}{dx}. Vá com calma, passo a passo, como fizemos aqui.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{y-1}{t\,g'(y)-x}

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