Usando a derivação implícita determine \frac{d y}{d x} nas equações abaixo:
x^{2} y+x y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita \,x^{2}y + x y^{2} = 9\, e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a equação relaciona x e y sem isolar y explicitamente; portanto y é uma função de x (mesmo que não a conheçamos) e usaremos derivação em relação a x. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação curta e prática):
  • Quando diferenciamos uma expressão em que aparece y, lembramos que y depende de x. Escrevemos \dfrac{dy}{dx} ou y' para a derivada de y em relação a x.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v] = u'v + uv'. Aqui usaremos com u e v podendo envolver y.
  • Regra da cadeia: se temos y^2, a derivada em relação a x é \dfrac{d}{dx}[y^2] = 2y\cdot y' porque primeiro derivamos t^2 em relação a t (dá 2t) e depois multiplicamos por dt/dx (que é y').
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}[9] = 0.

Passo 3

Diferencio termo a termo. Primeiro termo: \,x^{2}y. Trato como produto com u=x^{2} e v=y. Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}[x^{2}y] = \frac{d}{dx}[x^{2}]\cdot y + x^{2}\cdot \frac{d}{dx}[y].
Como \dfrac{d}{dx}[x^{2}] = 2x e \dfrac{d}{dx}[y]=y', obtemos
\frac{d}{dx}[x^{2}y] = 2x\,y + x^{2}y'.

Passo 4

Segundo termo: \,x y^{2}. Também é produto com u=x e v=y^{2}. Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}[x y^{2}] = \frac{d}{dx}[x]\cdot y^{2} + x\cdot \frac{d}{dx}[y^{2}].
Temos \dfrac{d}{dx}[x]=1 e, pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}[y^{2}]=2y\,y'. Assim
\frac{d}{dx}[x y^{2}] = y^{2} + x\cdot 2y\,y' = y^{2} + 2x y\,y'.

Passo 5

Derivando o lado direito: \dfrac{d}{dx}[9]=0. Agora juntamos tudo (somando as derivadas dos termos do lado esquerdo):
2x y + x^{2}y' + y^{2} + 2x y\,y' = 0.

Passo 6

Agrupo os termos que contêm y' e os que não contêm y'. Coloco os termos com y' juntos:
x^{2}y' + 2x y\,y' + 2x y + y^{2} = 0.
Agora fatoro y' nos dois primeiros termos:
y'\bigl(x^{2} + 2x y\bigr) + \bigl(2x y + y^{2}\bigr) = 0.

Passo 7

Isolo y' movendo o termo sem y' para o outro lado e dividindo:
y'\bigl(x^{2} + 2x y\bigr) = -\bigl(2x y + y^{2}\bigr).
Portanto
y' = -\dfrac{2x y + y^{2}}{x^{2} + 2x y}.
Podemos fatorar numerador e denominador se quiser:
y' = -\dfrac{y(2x + y)}{x(x + 2y)},
porém não há cancelamento entre (2x+y) e (x+2y) em geral, então a forma mais direta é a anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^{2}}{x^{2} + 2xy}

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