Usando a derivação implícita determine
nas equações abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para determinar
.
Informações relevantes: a equação relaciona e
sem isolar
explicitamente; portanto
é uma função de
(mesmo que não a conheçamos) e usaremos derivação em relação a
. Não há outros dados numéricos.
Informações relevantes: a equação relaciona
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação curta e prática):
- Quando diferenciamos uma expressão em que aparece
, lembramos que depende de . Escrevemos ou para a derivada de em relação a . - Regra do produto: se
e são funções, . Aqui usaremos com e podendo envolver . - Regra da cadeia: se temos
, a derivada em relação a é porque primeiro derivamos em relação a (dá ) e depois multiplicamos por (que é ). - Derivada de constante:
.
Passo 3
Diferencio termo a termo. Primeiro termo:
. Trato como produto com
e
. Aplicando a regra do produto:
Como
e
, obtemos
Passo 4
Segundo termo:
. Também é produto com
e
. Aplicando a regra do produto:
Temos
e, pela regra da cadeia,
. Assim
Passo 5
Derivando o lado direito:
. Agora juntamos tudo (somando as derivadas dos termos do lado esquerdo):
Passo 6
Agrupo os termos que contêm
e os que não contêm
. Coloco os termos com
juntos:
Agora fatoro
nos dois primeiros termos:
Passo 7
Isolo
movendo o termo sem
para o outro lado e dividindo:
Portanto
Podemos fatorar numerador e denominador se quiser:
porém não há cancelamento entre
e
em geral, então a forma mais direta é a anterior.