Determine os pontos em que a função a seguir é derivável e calcule a derivada nesses
f(x)= \begin{cases}(x+3)^{2} & \text { se } x \leq-2, \rightarrow \\ x^{2}-3 & \text { se }-2 \leq x \leq-1 \\ 0 & \text { se }-1<x<0 \\ x^{2} & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\ \cos \left(\frac{1}{x-1}\right) & \text { se } 1<x \leq 2 \\ 2 x-3 & \text { se } x>2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes e pede os pontos em que ela é derivável e as respectivas derivadas. O conteúdo é diferenciabilidade de funções definidas por trechos: primeiro derivamos cada ramo interno, depois verificamos continuidade e igualdade de derivadas laterais nos pontos de troca de ramo x=-2,-1,0,1,2.

Passo 2

Em cada intervalo aberto onde o ramo é regular, aplicamos as regras usuais de derivação:
f'(x)= \begin{cases} 2(x+3),&x<-2,\\\\ 2x,&-2<x<-1,\\\\ 0,&-1<x<0,\\\\ 2x,&0<x<1,\\\\ -\sin\!\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac1{(x-1)^2}\bigr) =\dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr)}{(x-1)^2},&1<x<2,\\\\ 2,&x>2. \end{cases}

Passo 3

Em x=-2 temos \displaystyle f(-2^-)=(-2+3)^2=1, \displaystyle f(-2^+)=(-2)^2-3=1, então é contínua.
Mas \displaystyle f'(-2^-)=2(-2+3)=2 e \displaystyle f'(-2^+)=2\cdot(-2)=-4,
como as laterais não coincidem, não é derivável em -2.

Passo 4

Em x=-1 temos \displaystyle f(-1^-)=(-1)^2-3=-2, \displaystyle f(-1^+)=0, não é contínua, logo não é derivável em -1.

Passo 5

Em x=0 temos \displaystyle f(0^-)=0 e \displaystyle f(0^+)=0^2=0, é contínua.
As derivadas laterais valem \displaystyle f'(0^-)=0 (ramo constante) e \displaystyle f'(0^+)=2\cdot0=0,
iguais, logo é derivável em 0 com f'(0)=0.

Passo 6

Em x=1 temos \displaystyle f(1^-)=1^2=1, mas \displaystyle \lim_{x\to1^+}\cos\!\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr) não existe (oscila),
logo falha a continuidade e não é derivável em 1.

Passo 7

Em x=2 temos \displaystyle f(2^-)=\cos(1), \displaystyle f(2^+)=2\cdot2-3=1, são diferentes,
logo não é contínua nem derivável em 2.

Resposta

A função é derivável em todos os x\) exceto \(-2,-1,1,2\). Em particular, \[f'(x)= \begin{cases} 2(x+3),&x<-2,\\\\ 2x,&-2<x<-1,\\\\ 0,&-1<x<0,\\\\ 2x,&0<x<1,\\\ \dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr)}{(x-1)^2},&1<x<2,\\\\ 2,&x>2, \end{cases}
e ainda (f’(0)=0].

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