Calcule as derivadas de:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
.
Informações relevantes dadas: a função é uma composição de várias funções — tem uma potência (quadrado) externa, uma função cosseno no meio e uma expressão no interior. A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes dadas: a função é uma composição de várias funções — tem uma potência (quadrado) externa, uma função cosseno no meio e uma expressão
Passo 2
Para organizar a resolução, vamos reescrever
como composição de funções mais simples. Defino:
Então
. Isso facilita aplicar a regra da cadeia passo a passo: derivative of a composition is the product of derivatives of the outer functions evaluated at the inner ones.
Passo 3
Apresento a regra da cadeia (explicada): se
, então
No nosso caso temos uma composição em três níveis, então a derivada será o produto das derivadas de
,
e
, avaliadas apropriadamente:
Também usaremos a regra da potência: se
então
; e a derivada do cosseno:
.
Passo 4
Calculo as derivadas de cada peça, explicando cada passo:
Derivada de
:
Isto significa que, ao aplicar na composição,
.
Derivada de
:
Ao aplicar fica
.
Agora derivada de
. Aqui novamente usamos a regra da potência e a derivada de
:
a) Se com
, então
.
b) tem derivada
.
Portanto
a) Se
b)
Portanto
Passo 5
Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Simplifico os sinais e os fatores numéricos passo a passo:
os dois sinais negativos multiplicam e viram positivo, e os coeficientes e
multiplicam para
. Assim
os dois sinais negativos multiplicam e viram positivo, e os coeficientes
onde recordo que
. Escrevendo explicitamente:
Passo 7
Podemos ainda apresentar a resposta numa forma trigonométrica mais compacta usando a identidade
Aqui
, logo
. Aplicando isso:
Ambas as formas são equivalentes; a última é mais compacta e costuma ser preferida.