Calcule as derivadas de:
(c) g(x)=\cos ^{2}\left(1-x^{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de g(x)=\cos^{2}\!\bigl((1-x^{2})^{2}\bigr).
Informações relevantes dadas: a função é uma composição de várias funções — tem uma potência (quadrado) externa, uma função cosseno no meio e uma expressão (1-x^{2})^{2} no interior. A tarefa é encontrar g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Para organizar a resolução, vamos reescrever g como composição de funções mais simples. Defino:
u(x) = (1-x^{2})^{2},
v(t) = \cos t,
H(s) = s^{2}.
Então g(x) = H\bigl(v(u(x))\bigr). Isso facilita aplicar a regra da cadeia passo a passo: derivative of a composition is the product of derivatives of the outer functions evaluated at the inner ones.

Passo 3

Apresento a regra da cadeia (explicada): se F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso temos uma composição em três níveis, então a derivada será o produto das derivadas de H, v e u, avaliadas apropriadamente:
g'(x)=H'\bigl(v(u(x))\bigr)\cdot v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Também usaremos a regra da potência: se h(z)=z^{2} então h'(z)=2z; e a derivada do cosseno: \dfrac{d}{dz}\cos z = -\sin z.

Passo 4

Calculo as derivadas de cada peça, explicando cada passo:
Derivada de H(s)=s^{2}:
H'(s)=2s.
Isto significa que, ao aplicar na composição, H'\bigl(v(u(x))\bigr)=2\cdot v(u(x))=2\cos\bigl(u(x)\bigr).
Derivada de v(t)=\cos t:
v'(t)=-\sin t.
Ao aplicar fica v'\bigl(u(x)\bigr)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)=-\sin\bigl((1-x^{2})^{2}\bigr).
Agora derivada de u(x)=(1-x^{2})^{2}. Aqui novamente usamos a regra da potência e a derivada de 1-x^{2}:
a) Se u(x)=w(x)^{2} com w(x)=1-x^{2}, então u'(x)=2w(x)\cdot w'(x).
b) w(x)=1-x^{2} tem derivada w'(x)= -2x.
Portanto
u'(x)=2(1-x^{2})\cdot(-2x) = -4x(1-x^{2}).

Passo 5

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
g'(x)=H'\bigl(v(u(x))\bigr)\cdot v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo as expressões que encontramos:
g'(x)=\bigl(2\cos(u(x))\bigr)\cdot\bigl(-\sin(u(x))\bigr)\cdot\bigl(-4x(1-x^{2})\bigr).

Passo 6

Simplifico os sinais e os fatores numéricos passo a passo:
os dois sinais negativos multiplicam e viram positivo, e os coeficientes 2 e 4 multiplicam para 8. Assim
g'(x)=8x(1-x^{2})\cos\bigl(u(x)\bigr)\sin\bigl(u(x)\bigr),
onde recordo que u(x)=(1-x^{2})^{2}. Escrevendo explicitamente:
g'(x)=8x(1-x^{2})\cos\bigl((1-x^{2})^{2}\bigr)\sin\bigl((1-x^{2})^{2}\bigr).

Passo 7

Podemos ainda apresentar a resposta numa forma trigonométrica mais compacta usando a identidade
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Aqui \theta=u(x)=(1-x^{2})^{2}, logo \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta). Aplicando isso:
g'(x)=8x(1-x^{2})\cdot\frac{1}{2}\sin\bigl(2(1-x^{2})^{2}\bigr)=4x(1-x^{2})\sin\bigl(2(1-x^{2})^{2}\bigr).
Ambas as formas são equivalentes; a última é mais compacta e costuma ser preferida.

Resposta

g'(x)=8x(1-x^{2})\cos\bigl((1-x^{2})^{2}\bigr)\sin\bigl((1-x^{2})^{2}\bigr)
g'(x)=4x(1-x^{2})\sin\bigl(2(1-x^{2})^{2}\bigr)

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