Calcule as derivadas de:
(g) f(x)=x(\cos (2 x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função dada. A informação fornecida é:
f(x)=x\big(\cos(2x)\big).
Portanto o objetivo imediato é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Observação importante sobre a forma da função: f(x) é produto de duas funções de x. Quando temos uma função que é produto de duas partes, por exemplo u(x) e v(x), usamos a regra do produto. A regra do produto é:
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x) e v(x) são funções de x; u'(x) denota a derivada de u e v'(x) a derivada de v. Vamos identificar u e v para o nosso caso.

Passo 3

Escolhemos
u(x)=x,\qquad v(x)=\cos(2x).
Agora calculamos u'(x). A derivada de x em relação a x é
u'(x)=1,
porque a inclinação da função x é constante e igual a 1.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x), ou seja, da derivada de \cos(2x). Aqui entra a regra da cadeia: se v(x)=\cos(g(x)), então
v'(x) = -\sin(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=2x. Calculamos g'(x):
g'(x)=2.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).
Expliquei: derivada de \cos é -\sin e multiplicamos pela derivada do interior 2x, que é 2.

Passo 5

Agora usamos a regra do produto com u,u',v,v' que já temos:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
f'(x)=1\cdot \cos(2x) + x\cdot\big(-2\sin(2x)\big).
Simplificando:
f'(x)=\cos(2x)-2x\sin(2x).
Se quiseres avaliar em um ponto, por exemplo x=0, temos f'(0)=\cos(0)-0=1, o que faz sentido: a derivada no zero é 1.

Resposta

f'(x)=\cos(2x)-2x\sin(2x)

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