Determine as derivadas das funções abaixo:
(c) g(x)=(\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{tg}(x))(\sin (x)+\cos (x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x) = (\csc x + \tan x)(\sin x + \cos x).
Informações relevantes dadas:
  • A função é dada como produto de duas expressões: u(x)=\csc x+\tan x e v(x)=\sin x+\cos x.
  • Queremos g'(x)=\dfrac{d}{dx}g(x).

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Se g(x)=u(x)v(x), então
\frac{d}{dx}\big[u(x)v(x)\big] = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Explicando bem: u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x. A regra diz que a derivada do produto é a soma de dois produtos: a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Isso é algo que você pode aplicar quase de cabeça na prova: “deriva o primeiro, multiplica pelo segundo; soma com primeiro vezes deriva o segundo”.

Passo 3

Agora identificamos as partes e derivamos cada uma terminho a terminho.
Defina
u(x)=\csc x + \tan x,\qquad v(x)=\sin x + \cos x.
Derivadas das funções trigonométricas que vamos usar (vou explicar cada uma):
  • \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x. Isso vem da definição clássica; memorizamos.
  • \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
  • \dfrac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^2 x. Lembre: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e sua derivada dá \operatorname{sec}^2 x.
  • \dfrac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x. Lembre: \csc x = 1/\sin x; derivando vem o sinal negativo e o fator \cot x.
Aplicando isso:
u'(x) = \frac{d}{dx}(\csc x) + \frac{d}{dx}(\tan x) = -\csc x\,\cot x + \operatorname{sec}^2 x,
v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(\cos x) = \cos x - \sin x.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
g'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtemos
g'(x) = \big(-\csc x\,\cot x + \operatorname{sec}^2 x\big)\big(\sin x + \cos x\big) + \big(\csc x + \tan x\big)\big(\cos x - \sin x\big).
Esta já é uma forma correta e perfeitamente aceitável da derivada — direta, estruturada e pronta para a prova.

Passo 5

Se quiser, podemos mostrar como simplificar parte dessa expressão (isso ajuda a identificar cancelamentos simples na hora da prova). Vou expandir um pouco o primeiro produto em pedaços para ver cancelamentos:
Calcule o termo -\csc x\,\cot x(\sin x+\cos x). Use \csc x=\dfrac{1}{\sin x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, então
-\csc x\,\cot x\sin x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}\sin x = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\cot x,
-\csc x\,\cot x\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}\cos x = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = -\cot^2 x.
Agora o outro pedaço do primeiro produto:
\operatorname{sec}^2 x(\sin x+\cos x)=\operatorname{sec}^2 x\sin x+\operatorname{sec}^2 x\cos x.
E o segundo produto:
(\csc x+\tan x)(\cos x-\sin x)=\csc x\cos x-\csc x\sin x+\tan x\cos x-\tan x\sin x.
Convertendo alguns termos:
\csc x\cos x=\cot x, \csc x\sin x=1, \tan x\cos x=\sin x. Portanto esse segundo produto contém um +\cot x que cancela com o -\cot x do primeiro produto expandido. É por isso que, ao expandir, frequentemente vemos cancelamentos agradáveis — bom sinal na prova porque simplifica.

Passo 6

Resumo: a forma direta e limpa para entregar na folha é a expressão obtida pela regra do produto (já mostrada). Ela está correta, não é necessário expandir mais a não ser que o enunciado peça forma simplificada. A resposta final, clara e organizada, é:

Resposta

\displaystyle g'(x)=\big(-\csc x\,\cot x+\operatorname{sec}^2 x\big)\big(\sin x+\cos x\big)+\big(\csc x+\tan x\big)\big(\cos x-\sin x\big)

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