Determine as derivadas das funções abaixo:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é dada como produto de duas expressões:
e . - Queremos
.
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto. Se
, então
Explicando bem:
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. A regra diz que a derivada do produto é a soma de dois produtos: a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Isso é algo que você pode aplicar quase de cabeça na prova: “deriva o primeiro, multiplica pelo segundo; soma com primeiro vezes deriva o segundo”.
Passo 3
Agora identificamos as partes e derivamos cada uma terminho a terminho.
Defina
Derivadas das funções trigonométricas que vamos usar (vou explicar cada uma):
-
. Isso vem da definição clássica; memorizamos. -
. -
. Lembre: e sua derivada dá . -
. Lembre: ; derivando vem o sinal negativo e o fator .
Aplicando isso:
Passo 4
Aplicamos a regra do produto:
Substituindo
obtemos
Esta já é uma forma correta e perfeitamente aceitável da derivada — direta, estruturada e pronta para a prova.
Passo 5
Se quiser, podemos mostrar como simplificar parte dessa expressão (isso ajuda a identificar cancelamentos simples na hora da prova). Vou expandir um pouco o primeiro produto em pedaços para ver cancelamentos:
Calcule o termo
. Use
e
, então
Agora o outro pedaço do primeiro produto:
E o segundo produto:
Convertendo alguns termos:
,
,
. Portanto esse segundo produto contém um
que cancela com o
do primeiro produto expandido. É por isso que, ao expandir, frequentemente vemos cancelamentos agradáveis — bom sinal na prova porque simplifica.
Passo 6
Resumo: a forma direta e limpa para entregar na folha é a expressão obtida pela regra do produto (já mostrada). Ela está correta, não é necessário expandir mais a não ser que o enunciado peça forma simplificada. A resposta final, clara e organizada, é: