Calcule as derivadas de:
(e) f(x)=-\frac{\sin ^{2}(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as derivadas da função
f(x) = -\frac{\sin^{2}(x)}{x}.
Informações relevantes: a função está escrita como uma razão; atenção ao domínio — x\neq 0 (porque há divisão por x). Vou apresentar as derivadas (primeira e segunda) passo a passo.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função numa forma que facilita aplicar as regras de derivação:
f(x)= -x^{-1}\sin^{2}(x).
Vou usar duas regras básicas (explico cada uma):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x) = -x^{-1} e v(x)=\sin^{2}(x).
  • Regra da cadeia para potência: se g(x)=[h(x)]^{2}, então
g'(x) = 2\,h(x)\,h'(x).
Aplicada a v(x)=\sin^{2}(x)=[\sin x]^{2}, com h(x)=\sin x e h'(x)=\cos x, obtemos
v'(x)=2\sin x\cos x.
Observação trigonométrica útil: 2\sin x\cos x=\sin(2x). Então podemos usar tanto 2\sin x\cos x quanto \sin(2x).
Também preciso da derivada de u(x)=-x^{-1}. Usando a regra da potência: (x^{n})' = n x^{n-1}. Assim
u'(x) = -(-1)x^{-2} = x^{-2}.

Passo 3

Agora aplico a regra do produto com u e v definidos:
f'(x)=u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Substituindo u',u,v':
f'(x) = x^{-2}\sin^{2}(x) + \bigl(-x^{-1}\bigr)\bigl(2\sin x\cos x\bigr).
Usando \sin(2x)=2\sin x\cos x, escrevo de forma mais compacta:
f'(x) = \frac{\sin^{2}(x)}{x^{2}} - \frac{\sin(2x)}{x}.
Podemos juntar em denominador comum x^{2}:
f'(x)=\frac{\sin^{2}(x) - x\sin(2x)}{x^{2}}.
Também se preferir fatorado por \sin x, use \sin(2x)=2\sin x\cos x:
f'(x)=\frac{\sin x\bigl(\sin x - 2x\cos x\bigr)}{x^{2}}.
Essa é a derivada primeira (válida para x\neq 0).

Passo 4

Resumo intermediário e comentário didático: a técnica principal foi transformar em produto e aplicar produto + cadeia. Sempre cheque o domínio: f'(x) não está definida em x=0 porque aparece x^{2} no denominador. Em prova, se pedirem, você pode também investigar o limite em x\to 0 para ver se há extensão contínua; aqui não pediram, então seguimos.

Passo 5

Agora calculo a derivada segunda f''(x). É mais organizado usar a forma
f'(x)=\frac{A(x)}{x^{2}},\qquad A(x)=\sin^{2}(x)-x\sin(2x).
Vou aplicar a regra do quociente (ou produto com x^{-2}). A forma prática: se f' = A x^{-2}, então
f'' = A' x^{-2} + A(-2)x^{-3} = \frac{A'}{x^{2}} - \frac{2A}{x^{3}} = \frac{A' x - 2A}{x^{3}}.
Para evitar erros, calculo A'(x) primeiro. Usando derivadas já vistas:
  • (\sin^{2}x)' = \sin(2x).
  • \bigl(-x\sin(2x)\bigr)' = -\sin(2x) - x\cdot( \sin(2x) )' = -\sin(2x) - x\cdot 2\cos(2x).
    Somando:
A'(x) = \sin(2x) - \sin(2x) - 2x\cos(2x) = -2x\cos(2x).

Passo 6

Substituo A e A' na expressão para f''. Usando a forma
f''(x)=\frac{A' x - 2A}{x^{3}},
obtém-se
f''(x)=\frac{\bigl(-2x\cos(2x)\bigr)x - 2\bigl(\sin^{2}(x)-x\sin(2x)\bigr)}{x^{3}}.
Faço simplificação algébrica no numerador:
f''(x)=\frac{-2x^{2}\cos(2x) - 2\sin^{2}(x) + 2x\sin(2x)}{x^{3}}.
Posso colocar um fator -2 em evidência:
f''(x) = -2\,\frac{x^{2}\cos(2x) + \sin^{2}(x) - x\sin(2x)}{x^{3}}.
Essa é uma forma compacta e correta para a segunda derivada, válida para x\neq 0. Se quiser, dá para reescrever usando identidades trigonométricas, mas não melhora muito a simplicidade aqui.

Resposta

f'(x)=\dfrac{\sin^{2}(x) - x\sin(2x)}{x^{2}} = \dfrac{\sin x\bigl(\sin x - 2x\cos x\bigr)}{x^{2}},\quad x\neq 0.\n
f''(x)=-2\,\dfrac{x^{2}\cos(2x) + \sin^{2}(x) - x\sin(2x)}{x^{3}},\quad x\neq 0.

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