Calcule as derivadas de:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as derivadas da função
Informações relevantes: a função está escrita como uma razão; atenção ao domínio —
(porque há divisão por
). Vou apresentar as derivadas (primeira e segunda) passo a passo.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função numa forma que facilita aplicar as regras de derivação:
Vou usar duas regras básicas (explico cada uma):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui
e
.
- Regra da cadeia para potência: se
, então
Aplicada a
, com
e
, obtemos
Observação trigonométrica útil:
. Então podemos usar tanto
quanto
.
Também preciso da derivada de
. Usando a regra da potência:
. Assim
Passo 3
Agora aplico a regra do produto com
e
definidos:
Substituindo
:
Usando
, escrevo de forma mais compacta:
Podemos juntar em denominador comum
:
Também se preferir fatorado por
, use
:
Essa é a derivada primeira (válida para
).
Passo 4
Resumo intermediário e comentário didático: a técnica principal foi transformar em produto e aplicar produto + cadeia. Sempre cheque o domínio:
não está definida em
porque aparece
no denominador. Em prova, se pedirem, você pode também investigar o limite em
para ver se há extensão contínua; aqui não pediram, então seguimos.
Passo 5
Agora calculo a derivada segunda
. É mais organizado usar a forma
Vou aplicar a regra do quociente (ou produto com
). A forma prática: se
, então
Para evitar erros, calculo
primeiro. Usando derivadas já vistas:
-
. -
.
Somando:
Passo 6
Substituo
e
na expressão para
. Usando a forma
obtém-se
Faço simplificação algébrica no numerador:
Posso colocar um fator
em evidência:
Essa é uma forma compacta e correta para a segunda derivada, válida para
. Se quiser, dá para reescrever usando identidades trigonométricas, mas não melhora muito a simplicidade aqui.