Determine as derivadas das funções abaixo:
(f) h(d)=(1-\operatorname{sec} (d)) \sin (d)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
h(d) = \bigl(1 - \operatorname{sec}(d)\bigr)\sin(d).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é d.
  • A função é produto de duas funções de d: 1-\operatorname{sec}(d) e \sin(d).
  • Queremos h'(d), a derivada em relação a d.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto porque h(d) é produto de duas funções. Vou primeiro relembrar e explicar as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(d) e v(d) são funções, então
\bigl(u\cdot v\bigr)' = u'\,v + u\,v'.
Isto significa: derive a primeira mantendo a segunda, depois some com derivar a segunda mantendo a primeira.
  • Derivada de \sin(d): \dfrac{d}{dd}\sin(d)=\cos(d). Aqui \cos(d) é a função cosseno de d.
  • Derivada de \operatorname{sec}(d): posso lembrar que \operatorname{sec}(d)=\dfrac{1}{\cos(d)}. Derivando,
\frac{d}{dd}\operatorname{sec}(d)=\frac{d}{dd}\bigl(\cos(d)^{-1}\bigr) = -1\cdot\cos(d)^{-2}\cdot(-\sin(d)) = \frac{\sin(d)}{\cos^2(d)}=\operatorname{sec}(d)\tan(d).
Explicando passo a passo: usei a regra da cadeia e a derivada de \cos (que é -\sin); o resultado pode ser escrito como \operatorname{sec}(d)\tan(d).
Portanto, a derivada de -\operatorname{sec}(d) é -\operatorname{sec}(d)\tan(d).

Passo 3

Agora identifico as duas funções para aplicar a regra do produto:
u(d)=1-\operatorname{sec}(d),\qquad v(d)=\sin(d).
Calculo as derivadas de cada uma:
  • u'(d)=\dfrac{d}{dd}\bigl(1-\operatorname{sec}(d)\bigr)=0 - \dfrac{d}{dd}\operatorname{sec}(d)= -\operatorname{sec}(d)\tan(d).
  • v'(d)=\dfrac{d}{dd}\sin(d)=\cos(d).

Passo 4

Aplico a regra do produto:
h'(d)=u'(d)\,v(d)+u(d)\,v'(d).
Substituindo u,u',v,v':
h'(d)=\bigl(-\operatorname{sec}(d)\tan(d)\bigr)\sin(d) + \bigl(1-\operatorname{sec}(d)\bigr)\cos(d).

Passo 5

Vamos simplificar a expressão termo a termo.
Primeiro termo:
-\operatorname{sec}(d)\tan(d)\sin(d) = -\left(\frac{1}{\cos(d)}\right)\left(\frac{\sin(d)}{\cos(d)}\right)\sin(d) = -\frac{\sin^2(d)}{\cos^2(d)} = -\tan^2(d).
Segundo termo:
\bigl(1-\operatorname{sec}(d)\bigr)\cos(d) = \cos(d) - \operatorname{sec}(d)\cos(d).
Mas \operatorname{sec}(d)\cos(d)=1 (pois \operatorname{sec}=\dfrac{1}{\cos}), logo o segundo termo é \cos(d)-1.
Portanto, somando os termos:
h'(d)= -\tan^2(d) + \bigl(\cos(d)-1\bigr) = \cos(d)-1-\tan^2(d).

Passo 6

Podemos ainda simplificar usando a identidade trigonométrica
\tan^2(d)=\operatorname{sec}^2(d)-1.
Substituindo em \cos(d)-1-\tan^2(d):
h'(d)=\cos(d)-1 -\bigl(\operatorname{sec}^2(d)-1\bigr)=\cos(d)-\operatorname{sec}^2(d).
Assim chegamos a uma forma mais compacta da derivada.

Resposta

\,h'(d)=\cos(d)-\operatorname{sec}^2(d)\,

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