Determine as derivadas das funções abaixo:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
. - A função é produto de duas funções de
: e . - Queremos
, a derivada em relação a .
Passo 2
Vamos usar a regra do produto porque
é produto de duas funções. Vou primeiro relembrar e explicar as regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto significa: derive a primeira mantendo a segunda, depois some com derivar a segunda mantendo a primeira.
- Derivada de
: . Aqui é a função cosseno de . - Derivada de
: posso lembrar que . Derivando,
Explicando passo a passo: usei a regra da cadeia e a derivada de
(que é
); o resultado pode ser escrito como
.
Portanto, a derivada de é
.
Portanto, a derivada de
Passo 3
Agora identifico as duas funções para aplicar a regra do produto:
Calculo as derivadas de cada uma:
Passo 4
Aplico a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão termo a termo.
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Mas
(pois
), logo o segundo termo é
.
Portanto, somando os termos:
Passo 6
Podemos ainda simplificar usando a identidade trigonométrica
Substituindo em
:
Assim chegamos a uma forma mais compacta da derivada.