Calcule as derivadas de cada uma das funções:
a) f(x)=3 x^2+35 x-2
b) f(x)=x+raiz[4]xx^2+3
c) f(x)=3 cos x+3 x tg x
d) f(x)=(x^3+raizx) cossec x
e) f(x)=x^2 ln x+2 pi^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de cinco funções usando as regras de diferenciação: derivada de potência, logaritmo, exponencial, trigonométricas, além das regras do produto, quociente e cadeia.

Passo 2

Para a) f(x)=dfrac3x^2+35x-2, aplicamos a regra do quociente com
N(x)=3x^2+3, N'(x)=6x,
D(x)=5x-2, D'(x)=5
Então
f'(x) =N'D - N D'D^2 =6x(5x-2)-5(3x^2+3)(5x-2)^2
=30x^2-12x-15x^2-15(5x-2)^2 =15x^2-12x-15(5x-2)^2 =3(5x^2-4x-5)(5x-2)^2

Passo 3

Para b) f(x)=dfracx+raiz[4]xx^2+3, de novo regra do quociente com
N(x)=x+x^tfrac14, N'(x)=1+14x^-3/4,
D(x)=x^2+3, D'(x)=2x
Logo
f'(x) =l(1+tfrac14x^-3/4r)(x^2+3)-2x,(x+x^1/4)(x^2+3)^2

Passo 4

Para c) f(x)=3cos x+3xtan x, derivamos termo a termo.
ddx[3cos x]=-3sin x,
e na parte 3xtan x usamos produto:
ddx[3xtan x] =3l(tan x + xsec^2 xr)
Assim
f'(x)=-3sin x+3tan x+3xsec^2 x

Passo 5

Para d) f(x)=(x^3+raizx),csc x, seja
u(x)=x^3+x^1/2, u'(x)=3x^2+tfrac12x^-1/2,
v(x)=csc x, v'(x)=-csc xcot x
Pelo produto,
f'(x)=u'v+uv' =(3x^2+tfrac12x^-1/2)csc x;-;(x^3+x^1/2)csc xcot x

Passo 6

Para e) f(x)=x^2ln x+2pi^x, separamos em dois termos.
No primeiro, produto x^2cdotln x:
ddx[x^2ln x] =2xln x + x^2cdot1x =2xln x + x
No segundo, exponencial:
ddx[2pi^x] =2pi^xlnpi
Somando,
f'(x)=2xln x + x + 2pi^xlnpi

Resposta

a) f'(x)=3(5x^2-4x-5)(5x-2)^2
b) f'(x)=l(1+tfrac14x^-3/4r)(x^2+3)-2x,(x+x^1/4)(x^2+3)^2
c) f'(x)=-3sin x+3tan x+3xsec^2 x
d) f'(x)=(3x^2+tfrac12x^-1/2)csc x-(x^3+x^1/2)csc xcot x
e) f'(x)=2xln x + x + 2pi^xlnpi

Exercícios relacionados