Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
é uma composição de funções: há um seno por fora, um quadrado no meio e um cosseno de um binômio linear por dentro. O objetivo é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Vamos organizar a composição em etapas para aplicar a regra da cadeia com calma. Defino, passo a passo:
A ideia é:
. Vou calcular
escrevendo
e usando a regra da cadeia novamente.
Passo 3
Regra básica que vamos usar (aula rápida): se
então
. Mais geralmente, se
então
Aqui aplicamos isso com
, então
Passo 4
Agora
. Regra usada: se
então
Aplicando com
, obtemos
Passo 5
Calcular
onde
. Regra básica: se
então
. Para uma composição
, temos
Aqui o “algo” é
. Logo
Passo 6
A derivada de
é a constante
:
Portanto
Passo 7
Substituo
em
(Passo 4):
Passo 8
Volto a
(Passo 3). Substituindo
e
do passo anterior:
Ou escrevendo de forma limpa,
Passo 9
Podemos simplificar o produto
usando a identidade trigonométrica
. Tomando
, temos
. Assim
Substituindo na expressão de
,
Resposta
ou, de forma equivalente,