Calcule as derivadas:
f(x)=\sin \left(\cos ^{2}((2 x+1))\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\sin\left(\cos^{2}\big(2x+1\big)\right).
Informações dadas:
\;f é uma composição de funções: há um seno por fora, um quadrado no meio e um cosseno de um binômio linear por dentro. O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos organizar a composição em etapas para aplicar a regra da cadeia com calma. Defino, passo a passo:
\begin{aligned} u(x) &= \cos\big(2x+1\big),\\\ v(x) &= u(x)^{2} = \big(\cos(2x+1)\big)^{2},\\\ f(x) &= \sin\big(v(x)\big). \end{aligned}
A ideia é: f'(x)=\dfrac{d}{dx}\sin(v(x))=\cos(v(x))\cdot v'(x). Vou calcular v'(x) escrevendo v(x)=u(x)^2 e usando a regra da cadeia novamente.

Passo 3

Regra básica que vamos usar (aula rápida): se g(x)=\sin(x) então g'(x)=\cos(x). Mais geralmente, se g(x)=\sin(h(x)) então
\frac{d}{dx}\sin(h(x))=\cos(h(x))\cdot h'(x).
Aqui aplicamos isso com h(x)=v(x), então
f'(x)=\cos\big(v(x)\big)\cdot v'(x).

Passo 4

Agora v(x)=u(x)^2. Regra usada: se r(x)=w(x)^2 então
r'(x)=2\,w(x)\,w'(x).
Aplicando com w(x)=u(x)=\cos(2x+1), obtemos
v'(x)=2\,u(x)\,u'(x)=2\cos\big(2x+1\big)\cdot u'(x).

Passo 5

Calcular u'(x) onde u(x)=\cos(2x+1). Regra básica: se h(x)=\cos(x) então h'(x)=-\sin(x). Para uma composição \cos(\text{algo}), temos
\frac{d}{dx}\cos(\text{algo})=-\sin(\text{algo})\cdot (\text{derivada do algo}).
Aqui o “algo” é 2x+1. Logo
u'(x)=-\sin\big(2x+1\big)\cdot \frac{d}{dx}(2x+1).

Passo 6

A derivada de 2x+1 é a constante 2:
\frac{d}{dx}(2x+1)=2.
Portanto
u'(x)=-\sin\big(2x+1\big)\cdot 2 = -2\sin\big(2x+1\big).

Passo 7

Substituo u'(x) em v'(x) (Passo 4):
v'(x)=2\cos\big(2x+1\big)\cdot \big(-2\sin(2x+1)\big) = -4\cos\big(2x+1\big)\sin\big(2x+1\big).

Passo 8

Volto a f'(x)=\cos(v(x))\cdot v'(x) (Passo 3). Substituindo v(x)=\cos^{2}(2x+1) e v'(x) do passo anterior:
f'(x)=\cos\!\big(\cos^{2}(2x+1)\big)\cdot\big(-4\cos(2x+1)\sin(2x+1)\big).
Ou escrevendo de forma limpa,
f'(x)=-4\cos\big(\cos^{2}(2x+1)\big)\,\cos(2x+1)\sin(2x+1).

Passo 9

Podemos simplificar o produto \cos(2x+1)\sin(2x+1) usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Tomando \theta=2x+1, temos \sin(4x+2)=2\sin(2x+1)\cos(2x+1). Assim
\cos(2x+1)\sin(2x+1)=\frac{1}{2}\sin(4x+2).
Substituindo na expressão de f'(x),
f'(x)=-4\cos\big(\cos^{2}(2x+1)\big)\cdot\frac{1}{2}\sin(4x+2) = -2\cos\big(\cos^{2}(2x+1)\big)\sin(4x+2).

Resposta

f'(x)=-4\cos\big(\cos^{2}(2x+1)\big)\cos(2x+1)\sin(2x+1)
ou, de forma equivalente,
f'(x)=-2\cos\big(\cos^{2}(2x+1)\big)\sin(4x+2).

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