Calcule as derivadas direcionais das funções a seguir nas direções indicadas:
Para f(x, y)=x y+x^2+y x, na direção que faz um ângulo de +60^circ com o eixo x-positivo no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função f(x, y) = xy + x^2 + yx na direção que forma um ângulo de +60^circ com o eixo x -positivo, no ponto (1,1) . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais, que envolve encontrar a taxa de variação da função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a derivada direcional, precisamos da vetor gradiente da função f . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) em relação a x e y :
partial fpartial x = y + 2x + y = 2x + 2y
partial fpartial y = x + x = 2x

Passo 4

No ponto (1,1) , substituímos x = 1 e y = 1 nas derivadas parciais:
partial fpartial x(1,1) = 2(1) + 2(1) = 4
partial fpartial y(1,1) = 2(1) = 2

Passo 5

Então, o vetor gradiente no ponto (1,1) é:
nabla f(1,1) = lang<= 4, 2 rang<=

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o vetor de direção que faz um ângulo de +60^circ com o eixo x -positivo. Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para obter as componentes desse vetor.
u = lang<= cos(60^circ), sin(60^circ) rang<=
Sabendo que cos(60^circ) = 12 e sin(60^circ) = raiz32 , temos:
u = lang<= 12, raiz32 rang<=

Passo 7

A derivada direcional é calculada como o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor de direção. Ou seja:
Du f = nabla f cdot u
Substituindo os valores:
Du f = lang<= 4, 2 rang<= cdot lang<= 12, raiz32 rang<= = 4 times 12 + 2 times raiz32

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Du f = 2 + raiz3

Resposta

A derivada direcional de f(x, y) = xy + x^2 + yx na direção de +60^circ no ponto (1,1) é 2 + raiz3 .

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