Calcule as derivadas direcionais das funções a seguir nas direções indicadas:
Para
, na direção que faz um ângulo de
com o eixo
-positivo no ponto
.
Para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
na direção que forma um ângulo de
com o eixo
-positivo, no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais, que envolve encontrar a taxa de variação da função em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular a derivada direcional, precisamos da vetor gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
No ponto
, substituímos
e
nas derivadas parciais:
Passo 5
Então, o vetor gradiente no ponto
é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o vetor de direção que faz um ângulo de
com o eixo
-positivo. Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para obter as componentes desse vetor.
Sabendo que
e
, temos:
Passo 7
A derivada direcional é calculada como o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor de direção. Ou seja:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é
.