Calcule as derivadas direcionais das funções a seguir nas direções indicadas:
Para f(x, y)=cos (x y)+y e^wed>= x, no ponto (0,1), na direção que faz um ângulo de +30^circ com o eixo x-positivo.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
f(x,y)=cos(xy)+y,e^x
no ponto (0,1) na direção que faz um ângulo de +30^circ com o eixo x. Para isso vamos usar o conceito de gradiente nabla f e o vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=-ysin(xy)+y,e^x, partial fpartial y=-xsin(xy)+e^x

Passo 3

Avaliamos nabla f em (0,1):
partial fpartial x(0,1)=-1sin(0)+1cdot e^0=0+1=1, partial fpartial y(0,1)=-0sin(0)+e^0=0+1=1
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nabla f(0,1)=(1,1)

Passo 4

A direção faz theta=30^circ com o eixo x, então o vetor unitário é
u=(cos30^circ,;sin30^circ)=l(tfracraiz32,;tfrac12r)

Passo 5

A derivada direcional de f na direção u em (0,1) é o produto escalar
Du f(0,1)=nabla f(0,1)cdot u =1cdottfracraiz32+1cdottfrac12 =tfracraiz3+12

Resposta

Du f(0,1)=raiz3+12

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