Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea dada. Encontre a solução geral da equação difencial.
x^2 y^prime prime-2 x y^prime-4 y=0 ; y1(x)=x^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) da equação homogênea dada e, além disso, uma solução particular da equação não homogênea. Depois, precisamos juntar tudo para achar a solução geral da equação diferencial. A equação que temos é:
x^2 y'' - 2x y' - 4y = 0 ; y1(x) = x^-1
Vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. Dividindo todos os termos por x^2 , fica:
y'' - 2x y' - 4x^2 y = 0
Aqui, identificamos os coeficientes:
  • P(x) = -2x
  • Q(x) = -4x^2

Passo 3

Sabemos que y1(x) = x^-1 é uma solução da equação homogênea. Vamos procurar uma segunda solução y2(x) da forma:
y2(x) = y1(x) cdot v(x)
Onde v(x) é uma função que precisamos encontrar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y2(x) :
y2' = y1' v + y1 v'
y2'' = y1'' v + 2 y1' v' + y1 v''
Substituindo y2 , y2' e y2'' na equação diferencial original.

Passo 5

Após substituir e simplificar, acabamos com uma equação para v(x) . O método de redução de ordem nos leva a uma equação diferencial de primeira ordem para v'(x) . Resolvendo essa equação, encontramos:
v(x) = integral e^-integral P(x) dx cdot 1y1(x)^2 dx

Passo 6

Vamos calcular as integrais envolvidas:
integral P(x) dx = integral -2x dx = -2 ln x
e^-integral P(x) dx = e^2 ln x = x^2
Então,
v(x) = integral x^2(x^-1)^2 dx = integral x^4 dx = x^55 + C

Passo 7

Agora, substituímos v(x) na expressão de y2(x) :
y2(x) = x^-1 cdot x^55 = x^45
Podemos simplificar tirando a constante:
y2(x) = x^4

Passo 8

Com as duas soluções da equação homogênea y1(x) = x^-1 e y2(x) = x^4 , a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 x^-1 + C2 x^4

Passo 9

Como a equação dada é homogênea, não há termo não homogêneo para encontrar uma solução particular adicional. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 x^-1 + C2 x^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 x^-1 + C2 x^4
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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