Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea dada. Encontre a solução geral da equação difencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
da equação homogênea dada e, além disso, uma solução particular da equação não homogênea. Depois, precisamos juntar tudo para achar a solução geral da equação diferencial. A equação que temos é:
Vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. Dividindo todos os termos por
, fica:
Aqui, identificamos os coeficientes:
Passo 3
Sabemos que
é uma solução da equação homogênea. Vamos procurar uma segunda solução
da forma:
Onde
é uma função que precisamos encontrar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial original.
Passo 5
Após substituir e simplificar, acabamos com uma equação para
. O método de redução de ordem nos leva a uma equação diferencial de primeira ordem para
. Resolvendo essa equação, encontramos:
Passo 6
Vamos calcular as integrais envolvidas:
Então,
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Podemos simplificar tirando a constante:
Passo 8
Com as duas soluções da equação homogênea
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 9
Como a equação dada é homogênea, não há termo não homogêneo para encontrar uma solução particular adicional. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.