Calcule as derivadas direcionais das funções a seguir nas direções indicadas:
Para f(x, y, z)=x^2+2 x y+z^2, na direção do vetor normal externo da superfície x^2+y^2+x y z=3 no ponto ( 1 , 1,1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=x^2+2xy+z^2 no ponto (1,1,1) na direção do vetor normal externo à superfície definida por x^2+y^2+xyz=3. Neste tipo de problema, usamos que a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário u é
Duf(p) = nabla f(p) cdot u
e que o vetor normal à superfície implícita F(x,y,z)=x^2+y^2+xyz-3=0 é dado por nabla F. Precisamos, então, de nabla f, de nabla F, avaliá-los em (1,1,1), normalizar nabla F para obter u e finalmente calcular o produto escalar.

Passo 2

Calculamos os gradientes de f e de F.
Para
f(x,y,z)=x^2+2xy+z^2
temos
nabla f(x,y,z) = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr) = (2x+2y,,2x,,2z)
Para
F(x,y,z)=x^2+y^2+xyz-3
temos
nabla F(x,y,z) = (2x+yz,,2y+xz,,xy)

Passo 3

Avaliamos os gradientes em (1,1,1):
nabla f(1,1,1) = (2cdot1+2cdot1,,2cdot1,,2cdot1) = (4,,2,,2),
nabla F(1,1,1) = (2cdot1+1cdot1,,2cdot1+1cdot1,,1cdot1) = (3,,3,,1)

Passo 4

O vetor normal externo (não unitário) é nabla F(1,1,1)=(3,3,1). Para obter o vetor unitário
u = nabla F(1,1,1)|nabla F(1,1,1)| = (3,3,1)raiz3^2+3^2+1^2 = (3,3,1)raiz19

Passo 5

Agora calculamos a derivada direcional:
Duf(1,1,1) = nabla f(1,1,1)cdot u = (4,2,2)cdot (3,3,1)raiz19 = 4cdot3 + 2cdot3 + 2cdot1raiz19 = 12 + 6 + 2raiz19 = 20raiz19

Resposta

20raiz19

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