Calcule as derivadas direcionais das funções a seguir nas direções indicadas:
Para f(x, y)=x^4+x^3 y^2+y, no ponto (1, 1), na direção da tangente da curva descrita por y=x^4.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^4+x^3y^2+y no ponto (1,1) na direção da tangente à curva y=x^4. Vamos usar a definição de derivada direcional
Duf(1,1)=nabla f(1,1)cdotu,
onde u é o vetor unitário na direção tangente.

Passo 2

Parametrizamos a curva por
c(t)=(t,,t^4),
que em coordenadas dá x=t, y=t^4. O vetor tangente é
c'(t)=(1,,4t^3)
No ponto (1,1) corresponde a t=1, então
v=c'(1)=(1,,4)

Passo 3

Calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são
fx(x,y)=4x^3+3x^2y^2, fy(x,y)=2x^3y+1
Em (1,1) obtemos
nabla f(1,1)=(,4cdot1^3+3cdot1^2cdot1^2,;2cdot1^3cdot1+1)=(7,,3)

Passo 4

Normalizamos v=(1,4) para obter o vetor unitário
u=v|v| =(1,4)raiz1^2+4^2 =(1,4)raiz17
A derivada direcional é então
Duf(1,1) =nabla f(1,1)cdotu =l(7,3r)cdot(1,4)raiz17 =7cdot1+3cdot4raiz17 =19raiz17

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção da tangente à curva y=x^4 é
19raiz17

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