Derivadas ao longo de uma curva:
Seja
um vetor qualquer, e
. Calcule
, assumindo que f é diferenciável.
Seja
Passo 1
O enunciado define uma curva no espaço através de
onde
é um vetor fixo em
. A função
é diferenciável em
e queremos descobrir como varia
em função de
. O que precisamos usar é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro observamos que
é diferenciável e
pois
é constante e
tem derivada
.
Passo 3
Como
é diferenciável, seu diferencial em um ponto
é o mapa linear
que aplicado a um vetor
dá
Pela regra da cadeia,
Passo 4
Substituindo
e usando que
, obtemos