Derivadas ao longo de uma curva:
Seja beta um vetor qualquer, e P(t)=P0+beta t. Calcule d / dt[f(P(t))], assumindo que f é diferenciável.

Passo 1

O enunciado define uma curva no espaço através de
P(t) = P0 + beta,t,
onde beta é um vetor fixo em R^n. A função f é diferenciável em R^n e queremos descobrir como varia f(P(t)) em função de t. O que precisamos usar é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro observamos que Pcolon RtoR^n é diferenciável e
P'(t) ;=; ddtl(P0 + beta,tr) ;=; beta,
pois P0 é constante e beta,t tem derivada beta.

Passo 3

Como fcolon R^ntoR é diferenciável, seu diferencial em um ponto x é o mapa linear
Df(x)colon R^ntoR,
que aplicado a um vetor v
Df(x)[v] ;=; nabla f(x)cdot v
Pela regra da cadeia,
ddtl(f(P(t))r) ;=; Dfl(P(t)r)l[P'(t)r]

Passo 4

Substituindo P'(t)=beta e usando que Df(P(t))[beta]=nabla f(P(t))cdotbeta, obtemos
ddtl(f(P(t))r) ;=; nabla fl(P(t)r)cdotbeta

Resposta

ddtl(f(P(t))r) =nabla fl(P(t)r)cdotbeta

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