Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}-y\right)+\sqrt{-x+y}

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}-y\right)+\sqrt{-x+y}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) } \ln\text{ aparece com argumento }x^{2}-y;
\text{(ii) } \sqrt{\cdot}\text{ aparece com argumento }-x+y.
O que precisamos obter é o conjunto de pontos (x,y) para os quais a expressão acima está bem definida (ou seja, pertencem ao domínio).

Passo 2

Relembrando as condições de existência das funções elementares que aparecem:
  • Para \ln(t) ser definido precisamos de t>0.
  • Para \sqrt{t} ser definido (no conjunto dos reais) precisamos de t\ge 0.
Aplicando isso aos argumentos dados:
x^{2}-y>0
-x+y\ge 0.

Passo 3

Reescrevemos cada desigualdade isolando y:
Da primeira:
x^{2}-y>0 \quad\Longrightarrow\quad y<x^{2}.
Da segunda:
-x+y\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y\ge x.

Passo 4

Combinando as duas desigualdades obtemos o intervalo de valores permitidos para y em função de x:
x\le y < x^{2}.
Agora precisamos verificar para quais valores de x esse intervalo é não vazio, ou seja, quando existe y tal que x\le y<x^{2}. Isso exige
x < x^{2}.

Passo 5

Resolvendo a desigualdade x<x^{2}:
x<x^{2} \quad\Longrightarrow\quad 0<x^{2}-x=x(x-1).
O produto x(x-1) é positivo quando x<0 ou x>1. Nos pontos x=0 ou x=1 a diferença é zero e o intervalo para y fica vazio (porque exigir y\ge x e y<x^{2}=x não admite pontos).
Portanto a condição em x é:
x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty).

Passo 6

Juntando tudo, o domínio D é o conjunto de pontos (x,y) tais que x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty) e y satisfaz
x\le y < x^{2}.
Em palavras (para desenhar): trace a parábola \displaystyle y=x^{2} e a reta \displaystyle y=x. A região válida é a “faixa” situada entre a reta e a parábola, com a reta y=x incluída (traço contínuo) e a parábola y=x^{2} excluída (traço pontilhado), mas somente para abscissas x<0 e x>1. No intervalo x\in(0,1) não há pontos do domínio.

Passo 7

Verificações rápidas (exemplos) para fixar:
  • Para x=-1 temos x^{2}=1, então y\in[-1,1). Por exemplo (-1,0) pertence ao domínio porque 1-0>0 e -(-1)+0=1\ge0.
  • Para x=2 temos x^{2}=4, então y\in[2,4). Por exemplo (2,3) pertence ao domínio.
  • Para x=0{,}5 temos x^{2}=0{,}25<x, então não existe y com x\le y<x^{2}; assim não há ponto do domínio com x=0{,}5.

Resposta

D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty)\\ \text{ e }\\ x\le y< x^{2}\right\}

Exercícios relacionados