Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções na direção indicada.
em
na direção deste ponto para o ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f em (1,2) na direção do ponto (4,6). O conteúdo é derivada direcional em duas variáveis, que requer o gradiente de f e a fórmula D_uf§=∇f§·u, onde u é vetor unitário na direção desejada.
Passo 2
Para achar o gradiente, primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x2-2x2y+xy^2+1. Usando as regras de derivação:
f_x(x,y)=2x-4xy+y^2
f_y(x,y)=-2x^2+2xy
f_y(x,y)=-2x^2+2xy
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas em (1,2):
f_x(1,2)=2·1-4·1·2+2^2=2-8+4=-2
f_y(1,2)=-2·1^2+2·1·2=-2+4=2
f_y(1,2)=-2·1^2+2·1·2=-2+4=2
Logo ∇f(1,2)=(-2,2).
Passo 4
O vetor direção do ponto (1,2) para (4,6) é (3,4). Para usar na fórmula, normalizamos:
u=\frac{(3,4)}{\sqrt{32+42}}=\frac{(3,4)}{5}=(3/5,4/5).
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar entre ∇f(1,2) e u:
D_uf(1,2)=(-2,2)·(3/5,4/5)=\frac{-6+8}{5}=\frac{2}{5}.