Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções na direção indicada.
f(x, y, z)=x^3+4 x y+z^2-2 y z em (1,2,1) na direção da tangente à curva alpha(t)=(t, 2 t^2, t^3) neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
f(x,y,z)=x^3+4xy+z^2-2yz
no ponto P=(1,2,1) na direção da tangente à curva
alpha(t)=(t,2t^2,t^3)
neste mesmo ponto. Para isso vamos precisar de:
  1. Encontrar o parâmetro t0 tal que alpha(t0)=P.
  2. Calcular o vetor tangente alpha'(t0).
  3. Calcular o gradiente nabla f(P).
  4. Formar o vetor unitário na direção tangente e usar
D uf(P)=nabla f(P)cdot u

Passo 2

Primeiro achamos t0 tal que
alpha(t0)=(t0,,2t0^2,,t0^3)=(1,2,1)
Da primeira componente vem t0=1. As outras componentes confirmam 2cdot1^2=2 e 1^3=1. Logo t0=1.

Passo 3

O vetor tangente é
alpha'(t)=(1,,4t,,3t^2),
portanto em t0=1 temos
v=alpha'(1)=(1,4,3)

Passo 4

A derivada direcional usa o gradiente de f. Calculamos
partial fpartial x=3x^2+4y, partial fpartial y=4x-2z, partial fpartial z=2z-2y
No ponto P=(1,2,1) isso dá
nabla f(P)=(3cdot1^2+4cdot2,;4cdot1-2cdot1,;2cdot1-2cdot2)=(11,2,-2)

Passo 5

Para usar a fórmula
D uf(P)=nabla f(P)cdot u
precisamos do vetor unitário
u= v| v|=(1,4,3)raiz1^2+4^2+3^2 =(1,4,3)raiz26
Fazendo o produto escalar,
D uf(P) =l(11,2,-2r)cdot(1,4,3)raiz26 =11cdot1+2cdot4+(-2)cdot3raiz26 =11+8-6raiz26 =13raiz26

Resposta

A derivada direcional de f em (1,2,1) na direção da tangente a alpha é
13raiz26

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