Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções na direção indicada.
na direção de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada direcional da função $ f(x, y, z) = x^{2} + 2xy + y^{2} $ no ponto $ (1, 1, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = (1, 5, 2) $. A matéria aqui é derivada direcional, que basicamente nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Para resolver isso, vamos precisar do gradiente da função e do vetor direção, além de normalizá-lo para garantir que estamos seguindo a direção correta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Para $ f(x, y, z) = x^{2} + 2xy + y^{2} $:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (1, 1, 1) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na expressão do gradiente:
Então, o gradiente no ponto dado é $ \nabla f(1, 1, 1) = (4, 4, 0) $.
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção $ \mathbf{v} = (1, 5, 2) $ para obter um vetor unitário. A normalização é importante porque a derivada direcional usa a direção pura, sem considerar o comprimento do vetor.
Primeiro, calculamos a norma (comprimento) de $ \mathbf{v} $:
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ na direção de $ \mathbf{v} $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Onde $ \cdot $ representa o produto escalar entre os dois vetores. Substituindo os valores que temos:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{30} $:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $ na direção de $ (1, 5, 2) $ é $ \frac{4 \sqrt{30}}{5} $.