Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções na direção indicada.
f(x, y)=ln raizx^2+y^2 no ponto (1,1) na direção da bissetriz do 1 º quadrante.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=lnraizx^2+y^2
no ponto (1,1) na direção da bissetriz do primeiro quadrante.
O conteúdo aqui é derivada direcional, que se obtém calculando o gradiente de f e projetando-o num vetor unitário da direção desejada.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
f(x,y)=lnraizx^2+y^2=tfrac12lnl(x^2+y^2r)
Dessa forma, as derivadas parciais são
partial fpartial x =12cdot1x^2+y^2cdot 2x =xx^2+y^2, partial fpartial y =yx^2+y^2
Logo,
nabla f(x,y) =l(xx^2+y^2,,yx^2+y^2r)

Passo 3

A bissetriz do primeiro quadrante corresponde ao vetor v=(1,1).
O vetor unitário nessa direção é
u=1raiz1^2+1^2(1,1) =l(1raiz2,,1raiz2r)

Passo 4

No ponto (1,1) temos 1^2+1^2=2, então
nabla f(1,1) =l(tfrac12,,tfrac12r)
A derivada direcional é o produto escalar
Duf(1,1) =nabla f(1,1)cdot u =12,1raiz2 +12,1raiz2 =1raiz2

Resposta

1raiz2

Exercícios relacionados