Seja f: R^2 R definida por f(x, y)=x / y, y neq 0 e f(x, y)=0, y=0. Demonstre que:
As derivadas parciais fx e fy existem em X0=(0,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função [f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}) definida por:
O objetivo é mostrar que as derivadas parciais existem no ponto . Para isso, vamos utilizar a definição de derivada parcial e calcular essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial em relação a x no ponto (a, b) é o limite:
fx(a, b) = limh to 0 f(a + h, b) - f(a, b)h
E de forma similar para fy :
fy(a, b) = limk to 0 f(a, b + k) - f(a, b)k
Vamos aplicar essas definições no ponto (0,0) .

Passo 3

Vamos calcular fx(0, 0) :
fx(0, 0) = limh to 0 f(0 + h, 0) - f(0, 0)h = limh to 0 f(h, 0) - 0h
Como y = 0 , a definição de f nos dá f(h, 0) = 0 . Então:
fx(0, 0) = limh to 0 0h = 0
Portanto, fx(0, 0) existe e é igual a 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular fy(0, 0) :
fy(0, 0) = limk to 0 f(0, 0 + k) - f(0, 0)k = limk to 0 f(0, k) - 0k
Aqui, x = 0 , então:
f(0, k) = 0k = 0
Logo:
fy(0, 0) = limk to 0 0k = 0
Então, fy(0, 0) também existe e é igual a 0.

Resposta

As derivadas parciais fx e fy existem em X0 = (0,0) e ambas são iguais a 0.

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