Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções na direção indicada.
em
na direção do vetor
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas direcionais. A gente tem a função
no ponto
e precisa encontrar a derivada direcional nessa direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Então:
Calculando cada derivada:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor unitário na direção do vetor dado
. Para isso, dividimos o vetor pelo seu comprimento. O comprimento de
é:
Portanto, o vetor unitário é:
Passo 4
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário. Então:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
na direção do vetor
em
é
.