Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções na direção indicada.
f(x, y, z)=2 x^2-y^2-z^2 em (1,2,2) na direção do vetor (4,5,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas direcionais. A gente tem a função f(x, y, z) = 2x^2 - y^2 - z^2 no ponto (1,2,2) e precisa encontrar a derivada direcional nessa direção do vetor (4,5,0). Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função f . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Então:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Calculando cada derivada:
partial fpartial x = 4x
partial fpartial y = -2y
partial fpartial z = -2z
Então, o gradiente no ponto (1,2,2) é:
nabla f(1,2,2) = (4 cdot 1, -2 cdot 2, -2 cdot 2) = (4, -4, -4)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor unitário na direção do vetor dado (4,5,0). Para isso, dividimos o vetor pelo seu comprimento. O comprimento de (4,5,0) é:
|v| = raiz4^2 + 5^2 + 0^2 = raiz16 + 25 = raiz41
Portanto, o vetor unitário é:
u = ( 4raiz41, 5raiz41, 0 )

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário. Então:
Duf = nabla f cdot u = (4, -4, -4) cdot ( 4raiz41, 5raiz41, 0 )
Calculando o produto escalar:
Duf = 4 cdot 4 + (-4) cdot 5 + (-4) cdot 0raiz41 = 16 - 20 + 0raiz41 = -4raiz41

Resposta

A derivada direcional de f na direção do vetor (4,5,0) em (1,2,2) é -dfrac4raiz41.

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